2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 00:33 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
(По мотивам Ktina)
Когда то давно не решил задачу:
Доказать, что число из одних семерок не может быть кубом
(все натуральное и десятичное).
А недавно - опять не решил....

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 08:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Основание куба должно быть $\equiv 753 \mod10^4$ (четыре семерки с конца). Тогда варианты пятой цифры следующие: $5,2,9,6,3,0,5,4,1,8$. Кажется, так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 10:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Нет, не так. $60753 \mod10^5$ в основании куба дают пять семерок с конца, а $660753 \mod10^6$ - шесть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 12:05 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Andrey A
Пять цифр с конца я , кажется, находил... Шестую - нет.
Но потом, вроде, осознал, что каждая следующая единственно (и существенно, блин!) находится таки. И вот тогда мне поплохело.....

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 12:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
А ещё если воспользоваться признаками деления на 7, 11, 27, то можно сразу (в уме) очень быстро улететь на границу снизу в 108 семёрок (или только в 54 -- я вчера перед сном эти слоники семёрки считал, не помню точно). Не исключаю, что можно и намного дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 12:18 


23/01/07
3415
Новосибирск
grizzly в сообщении #1219685 писал(а):
или только в 54

У меня вырисовался, признак делимости на $7^3$ - $42$ семерки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 12:48 


08/05/08
593
1. Можно доказать, что для любого $n$ взаимно прстого с 10 найдется соответсвующий репдигит, делящийся на $n$ - так что здесь рыть бессмысленно
2. Чть менее уверен в своем доказательстве того, что для любого $k$ найдется $a$ такое что $a^3$ заканчивается на k семерок. Поэтому это попробую:
Пусть у нас есть 2 числа $a$ $b$ взаимно простые с 10 и такие, что их остатки при делении на $10^k$ разные
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
в кольце $Z_{10^k}$ делители нуля это только не-взаимнопростые с 10 А вроде как правая скобка при взамнопростых с 10 останется взаименопростой с 10 (не делится ни на 2 ни на 5)
Следовательно $a^3$ и $b^3$ имеюит разные остатки при делении на $10^k$ а следовательно, по Дирихле где-то вылезет и все семерки

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 14:24 


26/08/11
2057
Число из единиц $\dfrac{10^n-1}{9}=49x^3$
Из-за делимости на 7, $n$ должно быть кратное шести, $n=6k$

$(10^{3k}-1)(10^{3k}+1)=9\cdot 49 \cdot x^3$

Вариант $10^{3k}+1=a^3$ отпадает, там одни кубы, остается

$\begin{cases} 10^{3k}-1=9b^3\\10^{3k}+1=49a^3 \end{cases}$

$k$ нечетное, должно делится на $7,11^2,13^2,37^2$, но противоречие пока не вижу :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 15:01 


08/05/08
593
Shadow
Да всегда найдется соответсвующий репдигит, делящийся на любое $n$, взаимнопростое с 10
Возьмем $n$ разных таких репдигитов. Или их остатки при делении на $n$ пробегают все возможные значения (в т.ч. 0) или у двух из них один остаток при делении на $n$. Возьмем разность этих двух, она будет делиться на $n$ и иметь вид 777...700..0 А т.к. $n$ взаименопросто с 10, то можно поделить на 10 несколько раз

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Shadow в сообщении #1219706 писал(а):
$k$ нечетное, должно делится на $7,11^2,13^2,37^2$, но противоречие пока не вижу :-(
Мы можем сыграть на повышение

Пусть репьюнит делится на 3. Я буду доказывать, что этот репьюнит не может быть кубом (забудем про семёрки, это не принципиально). Если репьюнит-куб делится на 3, значит и на 27. Значит, единиц кратно 27. У нас есть 2 возможности. Либо 27-репьюнит является кубом, либо они содержит простой множитель не в третьей степени.
(а) Кубом он быть не может, иначе кубом был бы 9-репьюнит/9 и 3 репьюнит/3.
(б) Есть простой множитель не в степени 3. Значит, чтобы довести его до степени 3, нужен кратный 81-репьюнит. А значит, кратный 729.
И дальше у нас есть те же две возможности, по которым мы можем карабкаться до бесконечности.

Я где-то ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
grizzly в сообщении #1219717 писал(а):
Кубом он быть не может, иначе кубом был бы 9-репьюнит/9 и 3 репьюнит/3.
Бред какой-то :facepalm:
Я хотел сказать, что указанные меньшие репьюниты должны состоять из тех же простых множителей. В общем, это не решение, а так -- наброски для мозгового штурма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 17:02 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Обсуждение на MathOverflow.

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 20:08 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
https://oeis.org/A225401

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Обозначим число, состоящее из $y$ единиц $f_y=7^2x^3$. Оно есть полная сумма $y$ членов геометрической прогрессии. Сначала можно попробовать доказать, что если некоторый член такой последовательности $f_n$ имеет хотя бы один собственный простой делитель, то наибольший собственный простой делитель $d_n>\sqrt{f_n}$. Вроде бы нетрудно. Отсюда следует, что $f_y$ не имеет собственного простого делителя. Остается доказать, что количество таких членов конечно. Для ряда Фибоначчи их два: $F_6=8$ и $F_{12}=144$. Доказательство есть в книжке Воробьева (стр. 63), а для степеней десятки может и вовсе не быть, кроме единицы. Такой коварный план.

PS
Собственный простой делитель - взаимно простой с предыдущими членами последовательности.

Исправлено 21.23

 Профиль  
                  
 
 Re: Куб из одних семерок?
Сообщение29.05.2017, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Нет, это тоже неверно. $111111$ имет соб. пр. делители $7,13$, и даже $7\cdot 13=91<\sqrt{111111}$ :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group