Поверхности 2ого порядка

[integrallebega]

Задание:

Поверхность задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК). Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности. Найдите каноническую систему координат. Сделайте проверку . Выполните рисунок поверхности в канонической системе координат. Проверьте правильность нахождения канонического уравнения по инвариантам.

$4x^2 + y^2 + 9z^2 + 4xy - 12xz - 6yz + 6x -2y -6z + 11 = 0$

Запишем матрицу квадратичной формы A:

$$ \begin{pmatrix} 4 & 2 & -6 \\ 2 & 1 & -3 \\ -6&-3 & 9 \\ \end{pmatrix} $$

$ \qquad \begin{vmatrix} 4-\Lambda & 2 & -6 \\ 2 & 1-\Lambda & -3 \\ -6&-3 & 9 - \Lambda \\ \end{vmatrix} = -\Lambda^3 + 14x^2 $

Очевидно, что

$$ \Lambda_1 = 14, \Lambda_2 = 0 $$

Построим матрицу

$$(A - \Lambda_1E)$$

$$ \qquad \begin{vmatrix} -10 & 2 & -6 \\ 2 & -13 & -3 \\ -6&-3 & -5 \\ \end{vmatrix} \sim \qquad \begin{vmatrix} 2 & -13 & -3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} $$

$e_1 = (-2,-1,3)$

Теперь построим матрицу

$$(A - \Lambda_2E)$$

$\qquad \begin{vmatrix} 4 & 2 & -6 \\ 2 & 1 & -3 \\ -6&-3 & 9 \\ \end{vmatrix} \sim \qquad \begin{vmatrix} 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix}$


$e_2 = (-1,1,0),e_2 = (3,0,2)$

Теперь нормируем вектора, получаем

$e_1 = {\frac1 \sqrt14} (-2,-1,3), e_2 = {\frac1 \sqrt5} (-1,2,0),e_2 = {\frac1 \sqrt13} (3,0,2)$

Получим матрицу P
$ {\frac1 \sqrt910} \cdot \qquad \begin{vmatrix} -2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \\ \end{vmatrix}$

При проверке

$$ P^T \cdot A \cdot P $$

не получается диагональной матрицы, все вычисления проверял по 200 раз уже, помогите пожалуйста

[svv]

Вектор $e_2$ проверьте, по-моему, он не является собственным для $\lambda_2=0$.

[SomePupil]

integrallebega в сообщении #1219419 писал(а):

$e_2 = (-1,1,0),e_2 = (3,0,2)$

Тут точно минус перед единицей?

[integrallebega]

svv в сообщении #1219422 писал(а):

Вектор $e_2$ проверьте, по-моему, он не является собственным для $\lambda_2=0$.

Точно. Исправил этот вектор, но вопрос остается прежним.

Только тут вместо $\sqrt364 $ должно быть просто 14. Где я ошибся?)

SomePupil в сообщении #1219423 писал(а):

integrallebega в сообщении #1219419 писал(а):

$e_2 = (-1,1,0),e_2 = (3,0,2)$

Тут точно минус перед единицей?

Точно, общее решение имеет вид:
$\Psi({\frac1 2}\alpha_2 + {\frac3 2}\alpha_3 , \alpha_2, \alpha_3)$

[svv]

У меня получается. Я отбросил все нормирующие коэффициенты для простоты. Получилась матрица с единственным ненулевым элементом 196 (в левом верхнем углу).

[iifat]

А можно ссылку на используемый вами метод? Взял первую из гугла, там делается по-другому.

[SomePupil]

iifat в сообщении #1219429 писал(а):

там делается по-другому.

Вроде то же самое.

[integrallebega]

svv в сообщении #1219428 писал(а):

У меня получается. Я отбросил все нормирующие коэффициенты для простоты.

В них то и остался вопрос. Там почему то $\sqrt910$, вместо 14.

Не могу понять почему, ведь $\sqrt14 \cdot \sqrt5 \cdot \sqrt13 = \sqrt910$

-- 28.05.2017, 17:49 --

iifat в сообщении #1219429 писал(а):

А можно ссылку на используемый вами метод? Взял первую из гугла, там делается по-другому.

Делаю так, как написано у меня в методичке. Поэтому ссылку дать не могу.

[iifat]

SomePupil в сообщении #1219433 писал(а):

Вроде то же самое

Вроде бы нет. Там берётся один собственный вектор, достраивается до ортонормированного базиса и «диагонализируется» только третий столбец (в смысле, третий столбец превращается в нули с одинокой лямбдой в конце). Первые два преобразуются на втором шагк.

[svv]

integrallebega
У Вас векторы $e_2$ и $e_3$ неортогональны. Ортогональность гарантируется только для собственных векторов симметричной матрицы, соответствующих различным собственным значениям.

[Metford]

Содержательную часть раньше меня сказали.

integrallebega
Подкоренное выражение лучше записывать в фигурных скобках: sqrt{910} - $\sqrt{910}$. Сравните с Вашими записями.

[integrallebega]

svv в сообщении #1219437 писал(а):

integrallebega
У Вас векторы $e_2$ и $e_3$ неортогональны. Ортогональность гарантируется только для собственных векторов симметричной матрицы, соответствующих различным собственным значениям.

Аа, тоесть
$ P = {\frac1 \sqrt{14} } \cdot \qquad \begin{vmatrix} -2 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \\ \end{vmatrix} $

?

[SomePupil]

iifat в сообщении #1219436 писал(а):

Там берётся один собственный вектор, достраивается до ортонормированного базиса и «диагонализируется» только третий столбец (в смысле, третий столбец превращается в нули с одинокой лямбдой в конце). Первые два преобразуются на втором шагк.

А, ну да.

Найти все три собственных значения $-$ намного проще, имхо. Тем более, они всегда существуют.

[svv]

integrallebega
Вы только коэффициент поменяли? Так не получится. Вам придётся найти два линейно независимых ортогональных собственных вектора, соответствующих кратному собственному значению $0$. Иначе ортонормированный базис не получится.

[integrallebega]

svv в сообщении #1219449 писал(а):

integrallebega
Вы только коэффициент поменяли? Так не получится. Вам придётся найти два линейно независимых ортогональных собственных вектора, соответствующих кратному собственному значению $0$. Иначе ортонормированный базис не получится.

Вы предлагаете ортогонализировать систему $(e_1, e_2, e_3)?$