Поверхности 2ого порядка

[Aritaborian]

integrallebega в сообщении #1219506 писал(а):

Соглашусь.

А вы не соглашайтесь. Вы поправьте!

[svv]

Ещё раз говорю, что у нас три вектора-столбца, и модули надо находить для столбцов.
Нормальнее не будет.

[integrallebega]

svv в сообщении #1219510 писал(а):

Ещё раз говорю, что у нас три вектора-столбца, и модули надо находить для столбцов.
Нормальнее не будет.

Получилось так:

$e_1 = {\frac{1}{\sqrt{14}}} (-2,-1,3), e_2 = {\frac1 \sqrt{5}} (-1,2,0),e_2 = {\frac1 \sqrt{70}} (6,3,5)$

-- 28.05.2017, 20:19 --

Aritaborian в сообщении #1219507 писал(а):

integrallebega в сообщении #1219506 писал(а):

Соглашусь.

А вы не соглашайтесь. Вы поправьте!

Там уже не поправить. Слишком поздно..

[svv]

Итак,
$P=\begin{pmatrix}-\frac 2{\sqrt{14}} & -\frac 1{\sqrt{5}} & \frac 6{\sqrt{70}} \\-\frac 1{\sqrt{14}} & \frac 2{\sqrt{\ldots}} & \frac 3{\sqrt{\ldots}} \\\frac 3{\sqrt{\ldots}} & 0 & \frac 5{\sqrt{\ldots}} \end{pmatrix}$
Что дальше по плану?

[integrallebega]

svv в сообщении #1219514 писал(а):

Итак,
$P=\begin{pmatrix}-\frac 2{\sqrt{14}} & -\frac 1{\sqrt{5}} & \frac 6{\sqrt{70}} \\-\frac 1{\sqrt{14}} & \frac 2{\sqrt{\ldots}} & \frac 3{\sqrt{\ldots}} \\\frac 3{\sqrt{\ldots}} & 0 & \frac 5{\sqrt{\ldots}} \end{pmatrix}$
Что дальше по плану?

Да я понимал, что Вы имели ввиду..

Просто сначала нужно сделать проверку $P^T \cdot A \cdot P = \operatorname{diag}(\Lambda_1, .....)$

А дальше преобразовать переменные:

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = P \cdot \begin{pmatrix} \tilde{x} \\ \tilde{y} \\ \tilde{z} \\ \end{pmatrix} $$

А с такой матрицей

$$P$$

сами понимаете

Сейчас конечно попробую умножить, но что то мне подсказывает, что ничего хорошего из этого не выйдет

Эх, а утром обязательно надо сдать это

-- 28.05.2017, 20:49 --

Наше решение неверно. В рез-те проверки получилась огромная матрица, которая даже картинкой сюда не влезает.

[svv]

Господи, да что же неверно-то?
Смотрите: у нас есть $P^\top\! A P$. Мы можем сначала перемножить $A$ и $P$. Это перемножение, в свою очередь, сводится к умножению $A$ на каждый столбец $P$. Умножение $A$ на первый столбец $P$ даст первый столбец матрицы $AP$. И так далее.

Но столбцы $P$-то у нас собственные векторы $A$! То есть и перемножать не надо, просто умножаем каждый вектор на соответствующее собственное значение. А у второго и третьего столбца это что? Нули. Дальше ясно?

Потом не забудьте $P^\top$ умножить на то, что получилось.

[integrallebega]

svv в сообщении #1219524 писал(а):

Господи, да что же неверно-то?
Смотрите: у нас есть $P^T A P$. Мы можем сначала перемножить $A$ и $P$. Это перемножение, в свою очередь, сводится к умножению $A$ на каждый столбец $P$. Умножение $A$ на первый столбец $P$ даст первый столбец матрицы $AP$. И так далее.

Но столбцы $P$-то у нас собственные векторы $A$! То есть и перемножать не надо, просто умножаем каждый вектор на соответствующее собственное значение. А у второго и третьего столбца это что? Нули. Дальше ясно?

Потом не забудьте $P^T$ умножить на то, что получилось.

Вы предлагаете

$$ \begin{pmatrix} -\frac 2{\sqrt{14}} \\ -\frac 1{\sqrt{5}} \\ \frac 6{\sqrt{70}} \\ \end{pmatrix} $$

Умножить на 14, а потом все это на

$$P^T$$

?

[svv]

Нет, Вы сейчас в столбец записали то, что в матрице $P$ было строкой.

Возьмите первый столбец $P$, умножьте его на $\lambda_1=14$. Это будет первый столбец $AP$.
Возьмите второй столбец $P$, умножьте его на $\lambda_2$. Это будет второй столбец $AP$.
...
Запишите $AP$.

[integrallebega]

svv в сообщении #1219531 писал(а):

Нет, Вы в столбец записали то, что было строкой.

Возьмите первый столбец $P$, умножьте его на $\lambda_1=14$. Это будет первый столбец $AP$.
Возьмите второй столбец $P$, умножьте его на $\lambda_2$. Это будет второй столбец $AP$.
...
Запишите $AP$.

$$ AP = \begin{pmatrix} -\frac{28}{\sqrt{14}} & 0& 0\\ -\frac{14}{\sqrt{14}} &0 &0\\ \frac{42}{\sqrt{14}} &0 & 0\\ \end{pmatrix} $$

[svv]

Сокращайте! $\frac{14}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}$

[integrallebega]

svv в сообщении #1219537 писал(а):

Сокращайте! $\frac{14}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}$

$$ AP = \begin{pmatrix} -2{\sqrt{14}} & 0& 0\\ -{\sqrt{14}} &0 &0\\ 3{\sqrt{14}} &0 & 0\\ \end{pmatrix} $$

[svv]

Надо $P^T$ умножить на эту матрицу, а не наоборот! Умножение матриц не коммутативно.

[integrallebega]

svv в сообщении #1219539 писал(а):

Да. Теперь надо $P^T$ умножить на эту матрицу.

Ахахаххах, получилось.

[svv]

Что именно?

[integrallebega]

svv в сообщении #1219541 писал(а):

Что именно?

$P^T \cdot A \cdot P = \operatorname{diag}(14, 0,0)$

Получается
$ 14\tilde{x}^2 + (6,-2,-6) \cdot \begin{pmatrix}-\frac 2{\sqrt{14}} & -\frac 1{\sqrt{5}} & \frac 6{\sqrt{70}} \\-\frac 1{\sqrt{14}} & \frac 2{\sqrt{\ldots}} & \frac 3{\sqrt{\ldots}} \\\frac 3{\sqrt{\ldots}} & 0 & \frac 5{\sqrt{\ldots}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \tilde{x} \\ \tilde{y} \\ \tilde{z} \\ \end{pmatrix} +11 = \cdots $