2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 17:54 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Собственные векторы $e_1$ и $e_2$ соответствуют различным собственным числам и потому уже ортогональны. Аналогично — векторы $e_1$ и $e_3$. Неортогональны только $e_2$ и $e_3$. Систему из двух последних векторов и надо ортогонализовать.

Расскажу, как я это делал (Вам этот способ вряд ли подойдёт). Во-первых, заметил, что полусумма $e_2$ и $e_3$ равна $(1,1,1)$. Естественно, это тоже собственный вектор, соответствующий значению $0$. Но с такими векторами приятно работать. Его я и назвал $e_2$, забыв про старые обозначения. Ну, а недостающий $e_3$ нашёл как векторное произведение $e_1$ и $e_2$ — он будет заведомо им ортогонален.

Ненамного сложнее любой стандартный способ ортогонализации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:00 
Аватара пользователя


20/11/16
53
svv в сообщении #1219471 писал(а):
Собственные векторы $e_1$ и $e_2$ соответствуют различным собственным числам и потому уже ортогональны. Аналогично — векторы $e_1$ и $e_3$. Неортогональны только $e_2$ и $e_3$. Систему из двух последних векторов и надо ортогонализовать.

Расскажу, как я это делал (Вам этот способ вряд ли подойдёт). Во-первых, заметил, что полусумма $e_2$ и $e_3$ равна $(1,1,1)$. Естественно, это тоже собственный вектор, соответствующий значению $0$. Но с такими векторами приятно работать. Его я и назвал $e_2$, забыв про старые обозначения. Ну, а недостающий $e_3$ нашёл как векторное произведение $e_1$ и $e_2$ — он будет заведомо им ортогонален.

Ненамного сложнее любой стандартный способ ортогонализации.

Я уже ортогонализировал через Грамма-Шмидта. Вот, что получилось:
$
\begin{pmatrix}
-2 &  -1 & 12 \\
-1 &  2 & 6 \\
3 & 0 &  10  \\
\end{pmatrix}
$

Теперь все векторы в ней попарно ортогональны. А что дальше делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:04 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
В этой матрице векторы записываются в столбик. И, пожалуйста, освободитесь от дробей, домножив все координаты «некрасивого» вектора на общий знаменатель. Но не оставляйте и множителей, на которые можно сократить (т.е. вместо $(300, 400, 500)$ надо взять $(3,4,5)$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:10 
Аватара пользователя


20/11/16
53
svv в сообщении #1219477 писал(а):
В этой матрице векторы записываются в столбик. И, пожалуйста, освободитесь от дробей, домножив все координаты «некрасивого» вектора на общий знаменатель. Но не оставляйте и множителей, на которые можно сократить (т.е. вместо $(300, 400, 500)$ надо взять $(3,4,5)$).

Исправил сообщение выше. Вы это имели ввиду?

А нет, я ошибся, сейчас исправлю

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:13 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да, только теперь невооруженным взглядом видно, что второй и третий столбец неортогональны...

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:15 
Аватара пользователя


20/11/16
53
svv в сообщении #1219483 писал(а):
Да, только теперь невооруженным взглядом видно, что второй и третий столбец неортогональны...

Да и первый с третьим. Просто опечатался, уже исправил.

А что дальше делать? Как получить матрицу $$P$$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:23 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Чуть подрихтуем:
$\begin{pmatrix}-2 &  -1 & 6 \\-1 &  2 & 3 \\3 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
Это ортогональный базис. Но ещё не ортонормированный. Если нормировать каждый вектор, получится матрица $P$. Всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:32 
Аватара пользователя


20/11/16
53
svv в сообщении #1219487 писал(а):
Чуть подрихтуем:
$\begin{pmatrix}-2 &  -1 & 6 \\-1 &  2 & 3 \\3 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
Это ортогональный базис. Но ещё не ортонормированный. Если нормировать каждый вектор, получится матрица $P$. Всё.

Разве?

векторы после нормирования:
$e_1 = {\frac{1}{\sqrt{41}}} (-2,-1,6), e_2 = {\frac1 \sqrt{14}} (-1,2,3),e_2 = {\frac1 \sqrt{34}} (3,0,5)$

Не знаю, пугают такие коэффициенты, в методичке и в примерах, которые на паре решали такого не было и матрица P очень просто находилась


$$\sqrt{test}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:38 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Напомню, векторы у нас записаны в столбцах, поэтому модули другие.
Корень из числа $1000$ в $\TeX$ пишется так: \sqrt{1000}, получается красиво: $\sqrt{1000}$. Об этом Metford уже говорил.

-- Вс май 28, 2017 18:41:30 --

С вектором $e_1$, по-моему, совершенно очевидно, что проще не получится. Остальные такие же по сложности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:46 


03/06/12
2745
integrallebega в сообщении #1219419 писал(а):
$
\qquad
\begin{vmatrix}
4-\Lambda & 2 & -6 \\
2 & 1-\Lambda & -3 \\
-6&-3 & 9 - \Lambda \\
\end{vmatrix}
= -\Lambda^3 + 14x^2
$

Что-то я не понял, $x$ здесь откуда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:49 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Sinoid, погодите, сообщение в процессе, смотреть пока нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:51 
Аватара пользователя


20/11/16
53
svv в сообщении #1219490 писал(а):

Корень из числа $1000$ в $\TeX$ пишется так: \sqrt{1000}, получается красиво: $\sqrt{1000}$. Об этом Metford уже говорил.


Да это я и так знал. С \frac так не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:52 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Sinoid в сообщении #1219494 писал(а):
$x$ здесь откуда?
Ну описка это была, там оба раза лямбда. Забейте ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 18:53 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
$\frac{5}{\sqrt{29}}$ \frac{5}{\sqrt{29}}

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхности 2ого порядка
Сообщение28.05.2017, 19:05 
Аватара пользователя


20/11/16
53
Aritaborian в сообщении #1219500 писал(а):
Sinoid в сообщении #1219494 писал(а):
$x$ здесь откуда?
Ну описка это была, там оба раза лямбда. Забейте ;-)

Соглашусь.
svv в сообщении #1219503 писал(а):
$\frac{5}{\sqrt{29}}$ \frac{5}{\sqrt{29}}

Понял, поправил одно сверху ;)


Ну так что думаете, как найти P с нормальными коэффициентами? Чет я совсем не понимаю этот момент, а то, что до и после этого в задаче легко бы решил :(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group