Найти мощность множества

[loser228]

Имеется задачка. Найти мощность множества всех функций $\mathbb{R}\to\mathbb{N}$. Оценку снизу я получил, воспользовавшись следующим соображением: множество функций $\varphi(x)=C, C\in\mathbb{N}$ счётно и лежит в исходном множестве, а вот сверху нашлась только оценка $\leqslant$ мощности континуума. Как поточнее дать неравенство ?

[grizzly]

loser228 в сообщении #1219115 писал(а):

Как поточнее дать неравенство ?

А если натуральные числа куда-то отобразить? скажем, на множество цифр? Это Вам не поможет?

-- 27.05.2017, 15:32 --

loser228 в сообщении #1219115 писал(а):

сверху нашлась только оценка $\leqslant$ мощности континуума

можете показать?

[loser228]

Цитата:

А если натуральные числа куда-то отобразить? скажем, на множество цифр? Это Вам не поможет?

не совсем понятно, что имеете в виду

[grizzly]

loser228 в сообщении #1219123 писал(а):

не совсем понятно, что имеете в виду

Тогда оставьте. Лучше давайте пока искать ошибку в том, что уже удалось "найти".

[loser228]

То, что мощность больше или равна, чем мощность натуральных чисел, верно ? А оценка с континуумом, как-то резко взбрела в голову. Не могу это обосновать.

[grizzly]

loser228 в сообщении #1219140 писал(а):

То, что мощность больше или равна, чем мощность натуральных чисел, верно ?

Более чем. Путь к чуть более точной оценке я подсказал выше. Правильное решение сложнее, без демонстрации уровня понимания Вам его никто не подарит

[Someone]

А что будет, если рассмотреть все функции $\mathbb R\to D$, где $D=\{0,1\}$ — двухэлементное множество?

[loser228]

Я так понимаю, надо исходное множество "засунуть" в множество каких-то функций (сдаётся, что оно должно быть счетным).

[Dan B-Yallay]

loser228 в сообщении #1219148 писал(а):

сдаётся, что оно должно быть счетным

Сдаётся мне, что вы не до конца продумали.

[loser228]

Возможно.

[Someone]

loser228 в сообщении #1219115 писал(а):

сверху нашлась только оценка $\leqslant$ мощности континуума

И где же это Вы такую оценку нашли?

Что за предмет Вы изучаете и по какой литературе? Если отвечающие будем знать подробности, то они более полезные советы дадут.

[loser228]

Теория функций вещественного переменного, а книжка в списке рекомендованных была Колмогоров-Фомин. Я сегодня эту задачу обсуждал с товарищем, и он как-то меня убедил в верности оценки меньше мощности континуума (!), а в итоге получили, что исходное множество счётно. Но, кажется, что-то пошло не так ...

[Someone]

loser228 в сообщении #1219170 писал(а):

кажется, что-то пошло не так ...

И очень сильно не так. Я ведь не случайно рекомендовал взять вместо натурального ряда двухэлементное множество.

loser228 в сообщении #1219170 писал(а):

книжка в списке рекомендованных была Колмогоров-Фомин

Понятно. Обратите внимание на упражнение, сформулированное в конце § 3 главы I. Это как раз про вашу задачу.