Поменять местами сумму и интеграл для функции Шварца

[Dmitry Tkachenko]

Пусть $f\colon \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R} \to \mathbb{C}),$ причем $\sup\limits_{x\in \mathbb{R}} \Big|x^a f^{(b)}(x) \Big|<\infty$ для $a,b\in \mathbb{N}.$ Как можно обосновать следующий переход:

$$\int\limits_0^{2\pi} e^{-ikx} \sum\limits_{n\in \mathbb{Z}} f(x+2\pi n) \,dx=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}} \int\limits_0^{2\pi} e^{-ikx} f(x+2\pi n) \,dx,$$

где интеграл понимается в смысле Лебега?

[vpb]

Из условия $\sup_{x\in{\mathbb R}} |x^2f(x)|<+\infty$ следует, что ряд $\sum_{n\in{\mathbb Z}}e^{ikx}f(x+2\pi n)$ абсолютно и равномерно сходится на $[0,2\pi]$ (докажите). Значит, его можно почленно интегрировать, по отрезку $[0,2\pi]$, и даже не по Лебегу, а по Риману.

[Dmitry Tkachenko]

$\exists C>0\colon |x^2 f(x)|\leqslant C,$ а для $x\in (0,2\pi]\colon |f(x)|\leqslant C/x^2.$ Тогда $\sup\limits_{x\in (0,2\pi]} \bigg| \sum\limits_{n=m+1}^{\infty} e^{-ikx}f(x+2\pi n) \bigg| \leqslant \sup\limits_{x\in (0,2\pi]} \sum\limits_{n=m+1}^{\infty} \frac{C}{(x+2\pi n)^2} \to 0, m\to \infty.$ Как строго показать, что оно к нулю стремится, и что делать с $x=0$?

[Red_Herring]

$|f(x)|\le c/(x^2+1)$

[Dmitry Tkachenko]

Почему нельзя просто положить $a=0, b=1,$ тогда $\sup |f(x)|<\infty,$ то есть $|f|<c$ и $\sum_{n=m+1}^{\infty} c \to 0, m \to \infty$ ?

[Otta]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1218856 писал(а):

и $\sum_{n=m+1}^{\infty} c \to 0, m \to \infty$ ?

Потому что не стремится. Посчитайте и убедитесь.

[Dmitry Tkachenko]

Otta в сообщении #1218859 писал(а):

Потому что не стремится. Посчитайте и убедитесь.

Ой, глупость написал, сумма расходится. Как же коротко показать, что $\sum\limits_{n=m+1}^{\infty} \frac{1}{(x+2\pi n)^2} \to 0, m\to \infty$ ?

[Dan B-Yallay]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1218863 писал(а):

Как же коротко показать,

Признаки сравнения какие знаете?

[Otta]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1218863 писал(а):

Ой, глупость написал, он же расходится. Как же коротко показать, что $\sum\limits_{n=m+1}^{\infty} \frac{1}{(x+2\pi n)^2} \to 0, m\to \infty$ ?

Для доказательства равномерной сходимости этого недостаточно. А того, что у Вас было выше - достаточно. Но как делается то, что выше - совсем очевидно, и $x=0$ там вовсе не мешает. Попробуйте сами.

[Dmitry Tkachenko]

Dan B-Yallay, Otta, нет вопросов по поводу сходимости $\sum 1/(2\pi n)^2.$ Просто стало интересно, как можно коротко показать сходимость конкретно $\sum 1/(x+2\pi n)^2.$

[Otta]

Зачем?

-- 26.05.2017, 09:02 --

Если это "конкретно" делается из праздного любопытства, то не вижу разницы. На области определения (последнего ряда) его поточечная сходимость делается аналогично. Признаки сравнения на это есть. Эквивалентности там всякие.

Но Вам - поточечной - мало.

[Dmitry Tkachenko]

Otta в сообщении #1218865 писал(а):

$x=0$ там вовсе не мешает

Согласен. $x+2\pi n >0$ для $x\in [0,2\pi], n>0.$

Otta в сообщении #1218869 писал(а):

Зачем?

Зачем стало интересно или зачем это нужно? По поводу первого --- ну это же дигамма функция (точнее, её производная), которая $\to 0$ на бесконечности, вот и стало интересно, можно ли показать сходимость без её участия. По второму --- мне не очень нужно.