2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: На что похожа эта кривая?
Сообщение31.05.2017, 11:49 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
iakovk в сообщении #1220307 писал(а):
Отсюда, в частности, видно, что при изменении $n$ от $-\infty$ до $+\infty$ кривая проходит от одной вершины треугольника до другой.

Это действительно так.
iakovk в сообщении #1220307 писал(а):
Скорее всего это не гипербола.

Это не гипербола, я проверял.
iakovk в сообщении #1220307 писал(а):
у меня в Mathematica получились намного более простые формулы:

У вас хоть совпали уравнения прямых $B{S_3}$ и $C{S_2}$ с моими?
INGELRII в сообщении #1220399 писал(а):
Если на то пошло, у вас переменные $a,b,c$ и $k,l,m$ не являются независимыми друг от друга. Одну из троек можно выразить через другую. Это недочет или вас устраивает, как есть?

Вы правы. Тогда мне лучше тройку $k,l,m$ выразить через стороны треугольника $a,b,c$, чтобы было проще сопоставлять с барицентрическими координатами.

-- 31.05.2017, 12:21 --

$m$ легко найти: $m=c$, далее, решая систему
$$\left\{ \matrix 
  {k^2} + {l^2} = {c^2} \hfill \cr ;
  {(k - l)^2} + {l^2} = {a^2} \hfill \cr 
 \endmatrix  \right.$$
только для положительных $k$ и $l$ получим:
$$k = \frac{{\sqrt { - {a^2} + 2\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}}  + 4{c^2}} }}{{\sqrt 5 }}$$
$$l = \frac{{\left( {\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}}  - {c^2}} \right)\sqrt { - {a^2} + 2\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}}  + 4{c^2}} }}{{\sqrt 5 ({a^2} - 2{c^2})}}$$

-- 31.05.2017, 12:23 --

С учетом формул iakovk получим:
$$x = \frac{{\frac{{\sqrt { - {a^2} + 2\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}}  + 4{c^2}} }}{{\sqrt 5 }}{b^n} + {c^{n + 1}}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}$$
$$y = \frac{{\frac{{\left( {\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}}  - {c^2}} \right)\sqrt { - {a^2} + 2\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}}  + 4{c^2}} }}{{\sqrt 5 ({a^2} - 2{c^2})}}{b^n}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}$$
Теперь все не так просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: На что похожа эта кривая?
Сообщение31.05.2017, 14:35 


08/10/10
50
Rusit8800 в сообщении #1220423 писал(а):
У вас хоть совпали уравнения прямых $B{S_3}$ и $C{S_2}$ с моими?

$C{S_2}$ совпало, $B{S_3}$ нет.
В
Rusit8800 в сообщении #1218742 писал(а):
$$lx + \left( {\frac{{m{c^n}}}{{{a^n} + {b^n}}} - k} \right)y - \frac{{ml{c^n}}}{{{a^n} + {c^n}}} = 0$$

вместо
$${\frac{{m{c^n}}}{{{a^n} + {b^n}}}}$$
должно быть, наверное,
$${\frac{{m{c^n}}}{{{a^n} + {c^n}}}}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: На что похожа эта кривая?
Сообщение31.05.2017, 14:39 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Мда, тут я лоханулся...

-- 31.05.2017, 14:44 --

В принципе, здесь
$$x = \frac{{\frac{{\sqrt { - {a^2} + 2\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}}  + 4{c^2}} }}{{\sqrt 5 }}{b^n} + {c^{n + 1}}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}$$
$$y = \frac{{\frac{{\left( {\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}}  - {c^2}} \right)\sqrt { - {a^2} + 2\sqrt { - {a^4} + 3{a^2}{c^2} - {c^4}}  + 4{c^2}} }}{{\sqrt 5 ({a^2} - 2{c^2})}}{b^n}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}$$
можно сделать замену:
$$x = \frac{{A{b^n} + {c^{n + 1}}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}$$
$$y = \frac{{B{b^n}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}$$
где $A$ и $B$ - некоторые большие параметры, не зависящие от $n$.
Далее, надо как-то выразить $n$, через $a,b,c,A,B$ из уравнения с $x$ и подставить в другое. Это случайно не через логарифмы делается(еще не проходил эту тему)?

-- 31.05.2017, 14:50 --

 Профиль  
                  
 
 Re: На что похожа эта кривая?
Сообщение31.05.2017, 14:55 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Ух-ха-ха! Веселые формулы. Не, так мы далеко не уедем. А от своих собственных формул, полученных Вами ранее, уже успели отречься? Вроде ж были уверены в них.

Ладно, возьмем пока за истину формулы iakovk, те что без корней (мне лень возиться с геометрией и проверять, правдивы ли они). Они суть рациональная параметризация. Домножаем их на знаменатель и переносим все члены в одну часть уравнения. Получаем систему двух полиномиальных уравнений. Добавляем к ним три формулы, связывающие переменные $a,b,c,k,l,m$. Они тоже полиномиальные уравнения.

Ну а дальше все проще простого! Нам хочется избавиться ото всех переменных, кроме $x,y$. В алгебраической геометрии для этого есть стандартная процедура: вводим для переменных лексикографическое отображение, скажем $a>b>c>k>l>m>x>y$, находим базис Грёбнера данной нам системы уравнений и по нему - исключающий идеал в поле $k[x,y]$. Это и будет уравнением интересующей нас кривой, выраженным не параметрически, а как равенство нулю некоего полинома от $x,y$.

Возможно, в моем изложении процедура выглядит сложной :D но на деле она куда проще. Ее можно провести хоть вручную, но это будет много муторных вычислений, в которых легко ошибиться. Тот же Maple с нею справляться умеет, но команд я не помню. Давайте дома посмотрю, что там выходит.

Еще один вопрос: Вы пытаетесь выразить $n$ через что-то там - зачем? Разве это не параметр, данный в условиях задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: На что похожа эта кривая?
Сообщение31.05.2017, 14:55 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Maple выдает что-то такое:
Код:
n = RootOf(A*b^_Z-3*x*a^_Z+c^(_Z+1))

 Профиль  
                  
 
 Re: На что похожа эта кривая?
Сообщение31.05.2017, 14:58 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
В переводе на человеческий: насяльника, уравнениема нерешаема никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: На что похожа эта кривая?
Сообщение31.05.2017, 14:59 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
INGELRII в сообщении #1220499 писал(а):
Вы пытаетесь выразить $n$ через что-то там - зачем?


Следую совету Sinoid
Sinoid в сообщении #1218780 писал(а):
из параметрического уравнения одной координаты выражаете параметр и подставляете (параметр) в уравнение другой координаты.

чтобы из параметрического уравнения получить обычное.

-- 31.05.2017, 15:00 --

INGELRII в сообщении #1220499 писал(а):
Разве это не параметр, данный в условиях задачи?

Вообще, параметры это $a,b,c$, так как это некоторые "закрепленные" константы, а $n$- не закреплена - это аргумент функции, который пробегает всю вещественную прямую.

-- 31.05.2017, 15:01 --

INGELRII в сообщении #1220501 писал(а):
В переводе на человеческий: насяльника, уравнениема нерешаема никак.

Он почему то также и биквадратные уравнения решать не хочет.

 Профиль  
                  
 
 Re: На что похожа эта кривая?
Сообщение31.05.2017, 15:12 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Rusit8800 в сообщении #1220502 писал(а):
Вообще, параметры это $a,b,c$, так как это некоторые "закрепленные" константы, а $n$- не закреплена - это аргумент функции, который пробегает всю вещественную прямую.

Вау. В такой постановке задачу не решить. По крайней мере, я способа не вижу. Могу помочь только с целыми значениями, причем фиксированными.

 Профиль  
                  
 
 Re: На что похожа эта кривая?
Сообщение31.05.2017, 15:19 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
INGELRII в сообщении #1220516 писал(а):
В такой постановке задачу не решить.

А в какой постановке вы думали была эта задача? Может я выразился неправильно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group