Следующая точка и верно ли доказательство?

[SNet]

Здравствуйте, есть задание вида

Докажите, что если A - внутренняя, а B - граничная точка выпуклой фигуры Ф, то все точки отрезка AB, кроме B, - внутренние точки Ф

Доказательство я хотел провести следующее:
На отрезке AB выделим следующую за точкой B точку L и рассмотрим получившийся отрезок. Докажем, что он целиком принадлежит Ф:
Допустим, что некоторый отрезок, образованный двумя внутренними точками выпуклой фигуры, пересекает границу этой выпуклой фигуры в одной точке. Проведём через точку пересечения этого отрезка с этой фигурой касательную. Очевидно, выпуклая фигура будет лежать в одной из полуплоскостей, образованной этой касательной (как разбиение пространства). Отсюда следует, что если наш отрезок пересекает границу выпуклой фигуры, то его граничная точка, отличная от другой граничной, которая является внутренней, должна быть либо граничной для выпуклой фигуры, либо внешней по отношению к ней. Но это противоречит условию. Следовательно...

Итак, отрезок $AL = AB-{B}$ должен лежать внутри фигуры, а отсюда следует, что каждая его точка лежит внутри фигуры. ЧТД.

Итак, правомерны ли действия "На отрезке AB выделим следующую за точкой B точку L и рассмотрим получившийся отрезок"? Меня очень смущает "следующую за точкой B точку L". И верно ли доказательство в целом?

[Xaositect]

Нет. Между любыми двумя точками $A$ и $B$ на отрезке существует третья точка - например, середина отрезка $AB$. Это значит, что "следующей точки" нет, если под следующей Вы понимаете то, что между двумя точками нет других точек.

Рассуждение будет правильным, если вместо "следующей точки" $L$ взять произвольную точку $L$ на отрезке $AB$.

[ewert]

SNet в сообщении #1218204 писал(а):

Меня очень смущает "следующую за точкой B точку L".

Меня тоже. Совершенно непонятно, что это означает.

Не надо никаких касательных и полуплоскостей. Предположите, что на интервале есть хоть одна не внутренняя точка. Возьмите достаточно близкую к ней точку, не принадлежащую фигуре, и достаточно близкую к $B$ точку фигуры. Проведите через них прямую...

[vpb]

Для человека, занимающегося самообразованием, кажется простым и наглядно очевидным, что если фигура выпукла, то через любую точку на границе можно провести касательную плоскость, а это не так уж очевидно. Тем более не ясно, как эта плоскость вообще может быть относительно фигуры расположена. (Поэтому, вопреки ободряющему утверждению Xaositect, Ваше исходное рассуждение совершенно некорректно). Да это и не нужно. Рассуждаем так. Предполагаем, что речь идет о фигурах, скажем, на плоскости (хотя то же самое, по существу, рассуждение применимо и к трехмерному пространству, и к многомерному евклидову/аффинному, и к банахову, и к произвольному топологическому векторному пространству).

Пусть $\Phi$ --- выпуклая фигура, $A$ --- ее внутренняя точка, а $B$ --- произвольная (хоть внутренняя, хоть на границе
лежащая). То, что $A$ --- внутренняя, означает, что существует $\varepsilon>0$ такое, что любая точка $C$ плоскости,
лежащая от $A$ на расстоянии $<\varepsilon$, тоже лежит в $\Phi$. Теперь пусть $D$ --- произвольная точка на отрезке $[AB]$, отличная от $B$. Надо доказать, что $D$ --- внутренняя точка для $\Phi$. То, что $D\in\Phi$, ясно, т.к. $\Phi$ выпукла. Возьмем $\delta=\varepsilon |DB|/|AB|$, и покажем, что любая точка $X$ такая, что $|DX|<\delta$, тоже лежит в $\Phi$. В самом деле, на луче $[BX)$ возьмем точку $Y$ такую, что $|BY|=|BX||BA|/|BD|$. Простое рассуждение с подобием треугольников показывает, что $|AY|=|DX||BA|/|BD|$. Но $|BA|/|BD|=\varepsilon/\delta$ по построению, а $|DX|<\delta$, значит $|AY|<\varepsilon$. Поэтому $Y\in\Phi$, значит, $X\in\Phi$.

-- 24.05.2017, 12:23 --

И еще, кажется, Вы сам термин "внутренняя точка" неправильно понимаете.