2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Представление x^x в виде суммы двух степеней
Сообщение21.05.2017, 11:16 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Легко доказать, что каждое из уравнений $$x^x=y^2+z^2$$ и $$x^x=y^3+z^3$$
имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Чуть труднее доказать, что:

а) Уравнение $$x^x=y^4+z^4$$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

А верно ли, что существует такое натуральное $n$, для которого:

б) Уравнение $$x^x=y^n+z^n$$ имеет лишь конечное (возможно, нулевое) количество решений в натуральных числах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление x^x в виде суммы двух степеней
Сообщение21.05.2017, 11:52 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Ktina в сообщении #1217775 писал(а):
Уравнение $$x^x=y^n+z^n$$ имеет

Будем искать решение в виде $y=kz$, тогда $x^x = z^n(1+k^n)$.
Возьмем $x=1+k^n$, тогда $x^x = (1+k^n)\cdot (1+k^n)^{k^n}$.
Так что, если $k$ делится на $n$, решение получится...

 Профиль  
                  
 
 Re: Представление x^x в виде суммы двух степеней
Сообщение21.05.2017, 16:23 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
DeBill
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group