2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Всегда ли существует примитивный элемент в подпространстве?
Сообщение16.05.2017, 20:12 
Аватара пользователя


15/04/17
15
Пусть $R = GF(q), q = p^r$ поле с единицей $e$, где $p$ простое число. Пусть $S=GF(q^n)$ расширение $R$ и $K = GF(q^{mn})$ расширение $S$. Пусть $_RW$ подпространство $_RK$ такое, что
$$
\operatorname{dim}_RW =n, e\in W, W\neq S
$$
Я хочу доказать или опровергнуть, что в пространстве $W$ обязательно найдется примитивный элемент поля $K$ .

Эксперименты на ЭВМ подтверждают данную гипотезу. Однако, как подступиться к данной задаче не знаю.
Есть идея применить результаты типа: если элемент $\alpha\in K$ имеет небольшой порядок, то $e-\alpha$ имеет большой порядок, при условии, что $\alpha\not\in\{0,1\}$.

Какие предложения, господа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Всегда ли существует примитивный элемент в подпространстве?
Сообщение16.05.2017, 22:01 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Возьмем простой случай - $R = \mathbb{F}_2$, $S = \mathbb{F}_4$ и $K = \mathbb{F}_{2^{12}}$. Тогда в поле $K$ будет $\varphi(2^{12}-1) = 1728$ примитивных элементов.

Рассмотрим теперь двумерные подпространства, состоящие из элементов $\{ 0, 1, \alpha, 1 + \alpha \}$. Всего таких подпространств будет $\frac{4096-2}{2} = 2047$. Примитивные же элементы содержатся не более чем в $1728$ таких подпространствах.

В более общем случае выберем поле $L$, промежуточное между $S$ и $K$ и уже в $L$ выберем подпространство нужной размерности, отличное от $S$. Это подпространство заведомо не будет содержать примитивных элементов $K$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Всегда ли существует примитивный элемент в подпространстве?
Сообщение17.05.2017, 20:20 
Аватара пользователя


15/04/17
15
AV_77 в сообщении #1216855 писал(а):
Возьмем простой случай - $R = \mathbb{F}_2$, $S = \mathbb{F}_4$ и $K = \mathbb{F}_{2^{12}}$. Тогда в поле $K$ будет $\varphi(2^{12}-1) = 1728$ примитивных элементов.

Рассмотрим теперь двумерные подпространства, состоящие из элементов $\{ 0, 1, \alpha, 1 + \alpha \}$. Всего таких подпространств будет $\frac{4096-2}{2} = 2047$. Примитивные же элементы содержатся не более чем в $1728$ таких подпространствах.

В более общем случае выберем поле $L$, промежуточное между $S$ и $K$ и уже в $L$ выберем подпространство нужной размерности, отличное от $S$. Это подпространство заведомо не будет содержать примитивных элементов $K$.


Большое спасибо. В условии я забыл написть, что меня интересует случай, когда $m$ - простое число.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group