О равномерной и неравномерной сходимости

[kp9r4d]

Аж стыдно задавать вопрос, но я всегда путался в этом всём; пролистывал тут Львовского по диагонали и обнаружил такой фрагмент:

(Оффтоп)

я правильно понимаю, что доказательство леммы 2.4 должно состоять из слова "очевидно", потому что $z,a$ можно считать что пробегают по компактам, а на компактах поточечная и равномерная сходимость - одно и то же? У самого Львовского там явная оценка, несложная совсем, но вопрос чисто принципиальный.

[Mikhail_K]

kp9r4d в сообщении #1216718 писал(а):

на компактах поточечная и равномерная сходимость - одно и то же

На компактах поточечная и равномерная непрерывность - одно и то же. Но не сходимость.

[kp9r4d]

Mikhail_K
Разве? Грубо, для каждой точки $a$ выберем шар $B_a$ что там разность $|f - f_n| < \varepsilon$ для достаточно больших $n$, выделем конечное подпокрытие $B_1,...,B_n$ и выберем такое $\delta$, что любой отрезок длины $\delta$ из компакта содержится хотя бы в одном шаре (будем считать, что компакт выпуклый).

[Mikhail_K]

Возьмём, например, последовательность непрерывных функций $f_n(x)$ на отрезке $[0,1]$, принимающих значение $0$ на $[0,1/2^{n+1}]\cup[1/2^n,1]$, значение $1$ в точке $3/2^{n+2}$ и линейных на $[1/2^{n+1},3/2^{n+2}]$ и на $[3/2^{n+2},1/2^n]$.
Последовательность сходится к нулю поточечно, но не равномерно.

-- 16.05.2017, 13:56 --

kp9r4d в сообщении #1216721 писал(а):

для каждой точки $a$ выберем шар $B_a$ что там разность $|f - f_n| < \varepsilon$ для достаточно больших $n$

Поточечная сходимость - это сходимость в каждой конкретной точке $a$. В шаре $B_a$ может быть всё что угодно.

[kp9r4d]

А, вы про это, ну там же ещё известно, что $f$ тоже непрерывна.

[Mikhail_K]

В моём примере $f(x)\equiv 0$ тоже непрерывна.
Впрочем, степень очевидности леммы из Львовского я здесь не комментирую. Только отличие между поточечной и равномерной сходимостью на компактах, даже если непрерывны и все функции последовательности, и предельная функция.

[kp9r4d]

ОК, убедительно.

[DeBill]

kp9r4d
А я не понимаю, зачем вообще нужен этот огород с отношением приращений...
(Посмотрел Шабата - искусственно обходит это: сначала доказывет формулу Тейлора, а потом как следствие получает .... Я, собственно, так и делал, когда этот курс читал. У Титчмарша - как у Львовского. У Львовского - есть в д-ве слово, на котором спотыкнулся : "отграничен" ).
А именно: у Львовского контур гладкий (да даже если и кус-гладкий - заменим меньшим гладким). Тогда: тупо параметризуем, и ссылаемся на (вещественную) теорему о дифф-ти (и непрерывности) собственного интеграла по параметру (ну, Коши-Риман автоматически выполнится)....

[kp9r4d]

DeBill в сообщении #1216804 писал(а):

Тогда: тупо параметризуем, и ссылаемся на (вещественную) теорему о дифф-ти (и непрерывности) собственного интеграла по параметру

Во, спасибо, знал, что как-то так можно. Этих теорем о перестановке значков $\lim,\frac{d}{dx}, \int$ штук сорок, кажется, вообще не представляю как их запоминают люди хотя бы на уровне формулировок.

[DeBill]

kp9r4d в сообщении #1216818 писал(а):

как их запоминают

Да без проблем: прочитать этот курс пять-десять раз, и все дела.
Впрочем, доказывается вещественная теорема именно что рассмотрением приращений, да.

[ex-math]

kp9r4d
Идея доказательства в голове -- формулировка сразу вспоминается. "Что нужно, чтоб так сделать? А, вот это и это" -- как-то так. От формулировок идти не надо, надо от сути.

[ewert]

DeBill в сообщении #1216804 писал(а):

А я не понимаю, зачем вообще нужен этот огород с отношением приращений...

Затем, что это самый дешОвый способ. Оценка -- явная, а иначе умучишься ссылаться на какие-то общие теоремы, которые ещё и бог весть когда и бог знает где были. Тут ведь и пафос-то в чём: что функция могёт быть сколь угодно загадочной, да вот интеграл от параметра зависит вполне себе тривиально.

DeBill в сообщении #1216804 писал(а):

(ну, Коши-Риман автоматически выполнится)

Ну вот конкретно по Шабату: он весьма элегантно обходит формулу Грина (которая идейна, конечно, в этом вопросе, но и вовсе не обязательна). Или я чего-то не понял, об чём речь.

[DeBill]

ewert в сообщении #1216883 писал(а):

он весьма элегантно обходит формулу Грина (

Это - про интегральную теорему Коши.

ewert в сообщении #1216883 писал(а):

об чём речь.

А речь - про ее обобщение (для производных), и как его извлекать из первого.