2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Логические высказывания
Сообщение14.05.2017, 23:38 


02/12/16
60
Здравствуйте, при чтении литературы возникло несколько вопросов.
Если высказывание записано с помощью $\[ \Rightarrow \]$, можно ли его переписать? Например:
Высказывание $\[{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \ne f({x_2})\]$ заменить на $\[\forall {x_1},{x_2}({x_1} \ne {x_2}) : f({x_1}) \ne f({x_2})\]$
Или $\[(x \in P) \Rightarrow (A(x) \in P)\]$ заменить на $\[\forall x \in P : A(x) \in P\]$
Правильно я понимаю, что лучше в этих случаях использовать одинарную стрелку: $\[ \to \]$, т.к. "двойные" используются в цепочке утверждений при доказательстве?
И еще, формулировки некоторых теорем приводятся так:($A,B,C$ - утверждения)
Пусть $A$. Тогда если $B$, то $C$. Равносильно ли это такому: $\[(A \wedge B) \Rightarrow C\]$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Логические высказывания
Сообщение14.05.2017, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Разницу между $\Rightarrow$ и $\rightarrow$ надо смотреть в конкретных источниках (если она вообще есть). Я сходу не могу вспомнить, где бы $\Rightarrow$ вообще использовалась.
xjar1 в сообщении #1216461 писал(а):
$\[\forall {x_1},{x_2}({x_1} \ne {x_2}) : f({x_1}) \ne f({x_2})\]$
Это вообще не формула. Обычно атомарные формулы собираются навешиванием предикатного символа на термы (например, $f(x) = g(y)$ - что совсем формально надо бы записывать как $=(f(x), g(y))$), а произвольные формулы собираются из атомарных с помощью логических связок и навешивания кванторов - так что после $\forall x$ должна идти какая-то формула (в скобках). Есть соглашения о сокращениях - опускании скобок после кванторов (при необходимости можно поставить двоеточие), замены нескольких одинаковых кванторов одним - например $\exists x(\exists y(\exists z(\ldots)))$ можно заменить на $\exists x,y,z: \ldots$.
Аналогично $\forall x\in P: F(x)$ - это сокращение для $\forall x: (x \in P \rightarrow F(x))$.
xjar1 в сообщении #1216461 писал(а):
Пусть $A$. Тогда если $B$, то $C$. Равносильно ли это такому: $\[(A \wedge B) \Rightarrow C\]$ ?
Является ли $(A \rightarrow (B \rightarrow C)) \leftrightarrow ((A \wedge B) \rightarrow C)$ тавтологией исчисления высказываний?

 Профиль  
                  
 
 Re: Логические высказывания
Сообщение15.05.2017, 00:43 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
xjar1
Хочется добавить к уже написанному: не надо ничего заменять просто «чтобы было».

 Профиль  
                  
 
 Re: Логические высказывания
Сообщение15.05.2017, 02:22 
Аватара пользователя


14/10/13
339
arseniiv в сообщении #1216470 писал(а):
не надо ничего заменять просто «чтобы было».
Этот принцип сам по себе очень хороший и правильный, но как отзыв на попытки ТС - он несправедлив. Человек честно пытается разобраться, увидеть равносильности. Если он самостоятельно нащупал взаимосвязь импликации и ограниченного квантора общности - так он вообще молодец. А за то, что не умеет пока грамотно записывать, не стоить забрасывать тухлыми яйцами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логические высказывания
Сообщение15.05.2017, 02:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
popolznev в сообщении #1216484 писал(а):
Если он самостоятельно нащупал взаимосвязь импликации и ограниченного квантора общности - так он вообще молодец.
Наверно. Но если взять импликацию, на которую не навешено никаких кванторов (или навешен $\exists$) — м-хм*… Может быть, стоит упомянуть верную в классической логике эквивалентность $(\varphi\to\psi)\leftrightarrow(\neg\varphi\vee\psi)$, не знаю. Если хочется переписывать. По-моему, всё же стоит понять смысл, а половина способов переписывания отсюда последует автоматически. (Всё-всё, не ворчу. :-)) Можно было бы посоветовать учебник, но надо иметь какой-то контекст.

* Неявные кванторы всеобщности по свободным переменным в некоторых случаях — отдельный вопрос, и я чувствую, что если упоминать всё это скопом, получится только каша. А виновата в необходимости упоминания всего этого именно постановка вопроса. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Логические высказывания
Сообщение15.05.2017, 09:23 


02/12/16
60
Спасибо за ответы!
Если честно, не силен в мат. логике, пока углубляться сильно не хотется, в данный момент изучаю алгебру.
К сожалению, так и не могу понять в чем разница между этими определениями:(инвариантного пространства, например)
$\[(x \in P) \rightarrow (\mathcal{A}x \in P)\]$ или $\[\forall x \in P : \mathcal{A}x \in P\]$
Разве таким образом определяются разные вещи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Логические высказывания
Сообщение15.05.2017, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
xjar1 в сообщении #1216506 писал(а):
в чем разница между этими определениями:(инвариантного пространства, например)
$\[(x \in P) \rightarrow (\mathcal{A}x \in P)\]$ или $\[\forall x \in P : \mathcal{A}x \in P\]$
Ни в чем, это разные способы сокращенной записи одной и той же формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логические высказывания
Сообщение20.05.2017, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
xjar1 в сообщении #1216506 писал(а):
$\[(x \in P) \rightarrow (\mathcal{A}x \in P)\]$ или $\[\forall x \in P : \mathcal{A}x \in P\]$

Насколько я понимаю, написанное справа - это жаргонизм, ибо кванторы, строго говоря, ставятся на переменных, а не на формулах (типа $x \in P$). Грамматически правильная формула в логике первого порядка: $\forall x ~ ((x \in P) \rightarrow (\mathcal{A}x \in P))$. Но написанное слева (без квантора) - тоже правильно, ибо есть варианты бескванторного синтаксиса, когда при наличии в формуле свободной переменной квантор всеобщности подразумевается автоматически.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group