2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти общее решение диффура высших порядков
Сообщение09.05.2017, 13:54 


05/03/17
18
Всем привет!

Решил освежить давно забытые знания по математике, дошел до диффуров - и споткнулся.
Нашел такое уравнение:

$y^{(6)} + 9y^{(4)} = x^{2} - 1 + \sin{3x}$.

Корни хар.многочлена:
$\lambda_{1,2,3,4} = 0, \lambda_{5,6} = \pm3i$.

Как записать общее решение?

$Y = Ax^{2} + Bx + C + A_1x\sin{3x} + B_1x\cos{3x}$

Так верно или я двигаюсь совсем неправильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти общее решение диффура высших порядков
Сообщение09.05.2017, 14:07 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Anton.V.Bogachev
Во первых, откуда у вас множитель $\[x\]$ при синусе и косинусе?
Во вторых, почему у вас многочлен 2-ой степени отвечает 4-кратному нулевому корню?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти общее решение диффура высших порядков
Сообщение09.05.2017, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Я бы все-таки сначала решил диффур для $u=y^{(4)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти общее решение диффура высших порядков
Сообщение09.05.2017, 14:25 


05/03/17
18
Ms-dos4 в сообщении #1215230 писал(а):
Anton.V.Bogachev
Во первых, откуда у вас множитель $\[x\]$ при синусе и косинусе?
Во вторых, почему у вас многочлен 2-ой степени отвечает 4-кратному нулевому корню?


1. Коэффициент при мнимой части $\lambda_{5,6}$ совпадает с коэффициентом в синусе ($3$), отсюда и $x$ при функциях.

2. Да, неправ. Тогда делаю так:
$Y = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E + A_1x\sin{3x} + B_1x\cos{3x}$.

-- 09.05.2017, 21:44 --

пианист в сообщении #1215232 писал(а):
Я бы все-таки сначала решил диффур для $u=y^{(4)}$


Так. Получается, для уравнения $u'' + u = x^2 - 1 + \sin{3x}$ общим решение будет $U = Ax^2 + Bx + C + A_1x\sin{3x} + B_1x\cos{3x}$.
Верно?
Методом неопределенных коэффициентов нахожу все эти коэффициенты, подставляю и уже решаю обычное уравнение с разделяющимися переменными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти общее решение диффура высших порядков
Сообщение09.05.2017, 14:48 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Anton.V.Bogachev
1. Я не понял вообще, о чём вы. Вы же сначала ищете общее решение ОДНОРОДНОГО уравнения. Вы его то неверно нашли, а неоднородным потом займётесь. И вопрос иксу у синуса остался.
2.А четвёртый то порядок при чём тут? Откройте уже Филипова, и почитайте теорию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти общее решение диффура высших порядков
Сообщение09.05.2017, 14:55 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Насколько я помню теорию, если 0 — корень четвёртой кратности, то частное решение будет $(Ax^2+Bx+C)x^4$, а $C_1x^3+\dots$ пойдут в общее. Впрочем, глянуть теорию не помешало б, это ж элементарные формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти общее решение диффура высших порядков
Сообщение09.05.2017, 15:05 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
iifat
Угу, но человек тут не может найти и общее однородного. Пусть делает лучше делает всё по порядку (хотя я согласен конечно, что это должно писаться руками).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти общее решение диффура высших порядков
Сообщение10.05.2017, 05:40 


08/05/08
593
Anton.V.Bogachev
Почитайте Филиппова, если он у вас есть. У меня дома эта ценная книжечка валяется\. А если нет, то напомню: Такие уравнения

$y^{(6)} + 9y^{(4)} = x^{2} - 1 + \sin{3x}$
Решаются так: Сначала решается уравнение
$y^{(6)} + 9y^{(4)} = 0 - Тут все предельно просто, раз уж корни характеристического уравнения вы уже нашли.
А потом находится какое-нибудь решения исходного уравнения
Потом общее решение первого плюс это какое-нибудь решение исходного есть общее решение исходного есть общее решение того самого исходного.

Все это в Филиппове есть, он у меня, правда, сейчас не под рукой. Но если его нету, и нужно только вспомнить старое, то могу посоветовать следующий муторный и долгий прием (может он подтолкнет вас Филиппова раздобыть или самому вывести то, что в нем написано):
Берем уравнение
$u'' + 9u = x^2 - 1 + \sin{3x}$
корни его характеристического вам известны : $3i$ и $-3i$
Делаем замену: $z=u'-3iu$ Если вот это вот $3i$ - корень характеристического исходного, то эта замена работает, и должно получиться что-то вроде $z'+3iz=x^2 - 1 + \sin{3x}$
С этим делаем следующее: умножаем на $e^{3ix}$ и левую часть, которая будет $z'e^{3ix}+3ize^{3ix}$ представляем в виде $=(ze^{3ix})'$ Интегрируем, делим. С переходом от $z$ к $u$ проводим аналогичный прием (только множитель там должен быть $e^{-3ix}$) Опять интегрируем, делим. В частном решении комплексные единицы должны исчезнуть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group