Повернуть твердое тело, зная одну ось

[Challenger]

Здравствуйте! Задача следующая:
Есть некая система координат $Oxyz$(скажем инерциальная).
Есть некое известное в $Oxyz$ направление, заданное направляющим вектором $\mathbf{e} = (e_x, e_y, e_z) $.
Есть также твердое тело со связанной с ним системой координат $Cx_1x_2x_3$ (С - центр масс, главные оси инерции).
Мы хотим повернуть тело так, чтобы направление $ \mathbf{e} $, имело в $Cx_1x_2x_3$ компоненты $\mathbf{e}'= (e_x', e_y', e_z') $.
Можно ли найти однозначно такое преобразование? Если да, то как лучше это сделать? Наиболее наглядно.

Идея:
$\mathbf{e}' = A \mathbf{e}$
A - матрица направляющих косинусов.
Из википедии:
Если $q = (w, x, y, z) $ - кватернион поворота, то

$A = \begin{bmatrix} 1 - 2 y^2 - 2 z^2 & 2 x y - 2 z w & 2 x z + 2 y w \\ 2 x y + 2 z w & 1 - 2 x^2 - 2 z^2 & 2 y z - 2 x w \\ 2 x z - 2 y w & 2 y z + 2 x w & 1 - 2 x^2 - 2 y^2 \end{bmatrix} .$

Соответственно, решаем систему $\mathbf{e}' - A \mathbf{e} = 0$ плюс условие нормировки.
Но тут могут быть неоднозначности, верно я понимаю?

[Someone]

Challenger в сообщении #1215216 писал(а):

Есть некая система координат $Oxyz$(скажем инерциальная).

Что значит — инерциальная? Вы геометрию с механикой не перепутали?

Challenger в сообщении #1215216 писал(а):

Мы хотим повернуть тело так, чтобы направление $ \mathbf{e} $, имело в $Cx_1x_2x_3$ компоненты $\mathbf{e}'= (e_x', e_y', e_z') $.

Challenger в сообщении #1215216 писал(а):

$\mathbf{e}' = A \mathbf{e}$
A - матрица направляющих косинусов.

Можно так.

Challenger в сообщении #1215216 писал(а):

Можно ли найти однозначно такое преобразование?

Конечно, не однозначно. Для однозначности нужно задать образы трёх ортов, а не одного.

[Challenger]

Someone в сообщении #1215223 писал(а):

Challenger в сообщении #1215216 писал(а):

Есть некая система координат $Oxyz$(скажем инерциальная).

Что значит — инерциальная? Вы геометрию с механикой не перепутали?

Да, это было лишнее.

Someone в сообщении #1215223 писал(а):

Challenger в сообщении #1215216 писал(а):

Можно ли найти однозначно такое преобразование?

Конечно, не однозначно. Для однозначности нужно задать образы трёх ортов, а не одного.

Правильно ли я понимаю, что тут неоднозачна последовательность поворотов (как например в углах Эйлера), которую мы должны осуществить?

[svv]

Challenger в сообщении #1215249 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что тут неоднозначна последовательность поворотов (как например в углах Эйлера), которую мы должны осуществить?

Нет, «хуже». Допустим, Вы нашли такой поворот $\mathsf A$, что $\mathsf A\mathbf e=\mathbf e'$.
Пусть $\mathsf B$ — произвольный поворот вокруг оси $\mathbf e'$, тогда
$\mathsf B\mathbf e'=\mathbf e'$, и $\mathsf B\mathsf A\mathbf e=\mathbf e'$

Аналогично, если $\mathsf C$ — произвольный поворот вокруг оси $\mathbf e$, то
$\mathsf C\mathbf e=\mathbf e$, и $\mathsf A\mathsf C\mathbf e=\mathbf e'$

То есть подходящих поворотов очень много. Тем не менее, среди них есть в некотором смысле наилучший — поворот на минимальный угол вокруг оси, перпендикулярной $\mathbf e$ и $\mathbf e'$ (если они неколлинеарны).