Как находят оптимальные параметры для хаотических ДУ?

[Igor_Dmitriev]

Например, есть аттрактор Лоренца. И есть данные, под которые надо оптимизировать параметры аттрактора Лоренца. Как это сделать? Дополнительная сложность в том, что система хаотическая.
И ещё: почему часто вместе с нелинейной динамикой говорят о фракталах, что их объединяет? Книги читал, но связи не заметил.

[dsge]

Igor_Dmitriev в сообщении #1215193 писал(а):

И есть данные, под которые надо оптимизировать параметры аттрактора Лоренца. Как это сделать?

Дискретизовать дифференциальное уравнение по времени и подогнать наименьшими квадратами или максимумом правдоподобия.

Igor_Dmitriev в сообщении #1215193 писал(а):

И ещё: почему часто вместе с нелинейной динамикой говорят о фракталах, что их объединяет?

В системах с нелинейной динамикой могут возникать, так называемые, странные аттракторы. Эти аттракторы иногда называют фракталами, поскольку они имеют дробную Хаусдорфову размерность. Фрактал - это дробный по-французски.

[Igor_Dmitriev]

dsge в [url=http://dxdy.ru/post1215199.html#p1215199[/url] писал(а):

Дискретизовать дифференциальное уравнение по времени и подогнать наименьшими квадратами или максимумом правдоподобия.

Когда система линейная, то это можно сделать. А как быть, когда в системе квадратичные члены, там же огромные крокодилы получаются?
И данный метод годится также для нехаотических уравнений, а оптимизация параметров для хаотических уравнений должна же быть более сложной, поскольку там при малых отклонениях появляются большие различия в дальнейшем.

dsge в сообщении #1215199 писал(а):

В системах с нелинейной динамикой могут возникать, так называемые, странные аттракторы. Эти аттракторы иногда называют фракталами, поскольку они имеют дробную Хаусдорфову размерность. Фрактал - это дробный по-французски.

Получается, что аттрактор имеет примерную форму и бесконечную длину, поскольку при точной форме и конечной длине размерность уже не может быть дробной?

[dsge]

Igor_Dmitriev в сообщении #1215316 писал(а):

Когда система линейная, то это можно сделать. А как быть, когда в системе квадратичные члены, там же огромные крокодилы получаются?

Не совсем понятно про крокодилы. Нелинейную систему можно дискретизировать Эйлером или Рунге-Куттом, далее выбираете начальные значения параметров, для которых прогоняете систему, сравниваете с данными, подсчитываете целевую функцию, скажем сумму квадратов разностей для данных и симулируемых точек, далее каким-нибудь солвером изменяете значения параметров, чтобы оптимизировать целевую функцию. Из-за нелинейностей и неустойчивостей, конечно, надо внимательно подходить к выбору шага дискретизации.

Igor_Dmitriev в сообщении #1215316 писал(а):

Получается, что аттрактор имеет примерную форму и бесконечную длину, поскольку при точной форме и конечной длине размерность уже не может быть дробной?

Что значит "примерную форму"? Аттрактор - это определенное множество точек в фазовом пространстве. Что значит "аттрактор имеет бесконечную длину"? Аттрактор Лоренца имеет Хаусдофову размерность между 2 и 3, т.е. грубо говоря, это что-то нечто между 2-х мерной поверхностью и 3-х мерным пространством.

[Igor_Dmitriev]

dsge в сообщении #1215325 писал(а):

Не совсем понятно про крокодилы. Нелинейную систему можно дискретизировать Эйлером или Рунге-Куттом, далее выбираете начальные значения параметров, для которых прогоняете систему, сравниваете с данными, подсчитываете целевую функцию, скажем сумму квадратов разностей для данных и симулируемых точек, далее каким-нибудь солвером изменяете значения параметров, чтобы оптимизировать целевую функцию. Из-за нелинейностей и неустойчивостей, конечно, надо внимательно подходить к выбору шага дискретизации.

При прогонке системы значения функции на следующем шаге зависят от предыдущих, а те от пред-предыдущих и т.д., таким образом, при нелинейностях мы получим, что значение функции на последнем шаге имеет сложную зависимость от параметров, если точек 10000, то там уже и не разберёшь такую зависимость, это и напрягает. Никаким МНК или ММП уже просто так не подступиться.

dsge в сообщении #1215325 писал(а):

Что значит "примерную форму"? Аттрактор - это определенное множество точек в фазовом пространстве. Что значит "аттрактор имеет бесконечную длину"? Аттрактор Лоренца имеет Хаусдофову размерность между 2 и 3, т.е. грубо говоря, это что-то нечто между 2-х мерной поверхностью и 3-х мерным пространством.

Размерность фрактала
Получается, что 2-мерная кривая при конечной длине имеет размерность, равную 2. Тогда, если аттрактор является фракталом с размерностью $2 < D < 3$, то его длина бесконечна?

[dsge]

Igor_Dmitriev в сообщении #1215333 писал(а):

если точек 10000, то там уже и не разберёшь такую зависимость, это и напрягает.

Количество точек можно уменьшить.

Igor_Dmitriev в сообщении #1215333 писал(а):

Никаким МНК или ММП уже просто так не подступиться.

А вы пробовали? Не вижу никаких других вариантов. Можно конечно взять столько точек сколько параметров, тогда параметры легко определить. Но при этом, возможно, получится, что полученные параметры будут зависеть от выбора точек.

Igor_Dmitriev в сообщении #1215333 писал(а):

Получается, что 2-мерная кривая при конечной длине имеет размерность, равную 2. Тогда, если аттрактор является фракталом с размерностью $2 < D < 3$, то его длина бесконечна?

Кривая даже бесконечной длины, в том числе 2-мерная, может имееть размерность, равную 1, а при конечной длине только 1. Аттрактор Лоренца - это не береговая граница Великобритании из Википедии. Но в каком-то смысле про него можно сказать, что он имеет бесконечную площадь и нулевой объем. По аналогии с кривой, определяемой графиком функции $\sin\frac{1}{x}$, которая имеет бесконечную длину на $(0, 1]$, но нулевую площадь, т.е. будет иметь размерность между 1 и 2.

[Igor_Dmitriev]

Цитата:

Количество точек можно уменьшить.
А вы пробовали? Не вижу никаких других вариантов.

Крокодилы (громоздкие зависимости) и так просматриваются. Думал, что есть другие варианты кроме МНК и ММП. Также думал, что и для хаотических ДУ есть специальные методы.

$10000$ назвал, чтобы наверняка, а на самом деле уже при $10$ появляются громоздкие зависимости.

[dsge]

Igor_Dmitriev в сообщении #1215335 писал(а):

на самом деле уже при $10$ появляются громоздкие зависимости

Аналитические зависимости для оценки параметров не нужны, достаточно просто находить численные решения в точках, соответствующих данным.
В книге Бард Й. "Нелинейное оценивание параметров" одна глава посвящена оцениванию параметров ДУ, в том числе и нелинейных.

[Igor_Dmitriev]

Спасибо, скачаю, просмотрю.

[Igor_Dmitriev]

Ещё вопросы.
Есть ли общие методы, исходя из которых можно сказать, что траектория хаотическая или в каждом случае свой подход, а в некоторых уравнениях и вовсе неизвестно, являются решения хаотическими или нет?

Всякое ли уравнение, в котором траектория или предельный цикл имеют дробную размерность, является хаотическим?

[demolishka]

Igor_Dmitriev в сообщении #1215971 писал(а):

Есть ли общие методы, исходя из которых можно сказать, что траектория хаотическая или в каждом случае свой подход, а в некоторых уравнениях и вовсе неизвестно, являются решения хаотическими или нет?

Начнем с того, что понятие хаоса не имеет единого определения. Подход к определению хаоса может быть статистический: метрическая энтропия, эргодичность, перемешивание, а может быть топологический: топологическая энтропия, топологическое перемешивание, показатели Ляпунова, хаос в смысле Девани, Ли-Йорка и т. д. Что считать хаосом --- зависит от наших предпочтений и конкретной ситуации.

Igor_Dmitriev в сообщении #1215971 писал(а):

Всякое ли уравнение, в котором траектория или предельный цикл имеют дробную размерность, является хаотическим?

Само утверждение бессмысленно, пока не указан класс уравнений, метрика и определение хаоса. Потому что понятия размерности, которые приводят к дробным значениям (например хаусдорфова или фрактальная размерность), могут меняться при замене метрики, сохраняющей топологию, а многие понятия хаоса --- топологические инварианты системы. Но даже при фиксации вышеуказанных вещей, что-то содержательное вряд ли удастся доказать.

Другое дело, что, если рассматривать естественные метрики, то дробное значение размерности аттрактора может намекать на сложное поведение системы. Теория размерностей динамических систем как раз занимается оценками размерностей аттракторов и других их характеристик типа топологической энтропии или показателей Ляпунова. Основная идея тут в том, что сам аттрактор мы не знаем, но можем знать область, где он лежит (ее можно найти, используя функцию Ляпунова) и проанализировав векторное поле в этой области и поведение функции Ляпунова можно дать некоторые оценки (в основном верхние) на вышеуказанные величины.

[dsge]

Igor_Dmitriev в сообщении #1215971 писал(а):

Есть ли общие методы, исходя из которых можно сказать, что траектория хаотическая или в каждом случае свой подход, а в некоторых уравнениях и вовсе неизвестно, являются решения хаотическими или нет?

Обычно, народ пытается найти в динамике системы отображение, называемое подкова Смейла, или типа того; если онo есть, то методами символической динамики можно показать, что существуют решения, для которых появление в определенной области фазового пространства подобно подбрасыванию монеты - 50% появится, 50% нет (почти как у блондинки). Поэтому такие решения, иногда, зовутся хаотическими. Подкова Смейла, как правило, появляется, если пересекаются устойчивые и неустойчивые многообразия, т.е. многообразия на которых решения стремятся или наоборот отдаляются, соответственно, от стационарных седловых точек.

Igor_Dmitriev в сообщении #1215971 писал(а):

Всякое ли уравнение, в котором траектория или предельный цикл имеют дробную размерность, является хаотическим?

Отдельная траектория, в том числе и предельный цикл, имеет размерность 1. Дробную размерность может иметь множество траекторий, например странный аттрактор. Вопрос можно переформулировать так: следует ли из дробности размерности инвариантного множества хаотичность траекторий на нем в вышеуказанном смысле? Кажется построен хитрый пример когда из 1-го не следует 2-ое, но не помню кем и где и не уверен, что именно в такой формулировке.
Хотя с другой стороны, дробность размерности аттрактора возникает из-за наличия в каком-либо виде Канторова множества в его структуре; однако представление этого множества в виде бесконечной последовательности нулей и единиц в свою очередь определяет хаотичность траектории, т.е. как бы бесконечная последовательность испытаний Бернулли с монетой.

[Igor_Dmitriev]

Правильно я понимаю, что в большинстве нелинейных системах ДУ, которые имеют особые точки и которые не решаются аналитически, аттракторы будут являться множеством дробной размерности? Верно ли, что большинство нелинейных систем ДУ, которые не поддаются аналитическому решению и имеют устойчивые предельные точки, являются хаотическими?

[dsge]

Igor_Dmitriev в сообщении #1217131 писал(а):

Правильно я понимаю, что в большинстве нелинейных системах ДУ, которые имеют особые точки и которые не решаются аналитически, аттракторы будут являться множеством дробной размерности?

Нет, система ДУ может не решаться аналитически, но иметь как аттрактор только одну неподвижную устойчивую точку, размерность, которой 0.

Igor_Dmitriev в сообщении #1217131 писал(а):

Верно ли, что большинство нелинейных систем ДУ, которые не поддаются аналитическому решению и имеют устойчивые предельные точки, являются хаотическими?

Тоже нет, Рюэль-Такенс предложили сценарий перехода к хаосу, через бифуркацию Андронова-Хопфа устойчивой точки, которая становится неустойчивой, потом бифурцирует предельный цикл, потом тор. В конечном итоге устойчивых неподвижных точек не будет.

[Igor_Dmitriev]

Но я же написал не про любые нелинейные системы ДУ, а про большинство.
Для большинства верные ли эти 2 утверждения?