2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение08.05.2017, 11:05 


28/08/13
251
В параграфе $\mathbf{(4.7)}$ сказано, что "результаты, касающиеся корреляционных функций обобщаются без труда", но сама фермионная корреляционная функция не написана. Вот для скалярного поля $\varphi$ была корреляционная функция
$$\langle \Omega|\varphi(x)\varphi(y)|\Omega\rangle,$$
где $\varphi(y)|\Omega\rangle$ я воспринимаю как состояние поля с частицей в точке $y$ и т.д.
Как написать аналогичную корреляционную функцию для фермионного поля со спинором $\psi$ - как число
$$\langle \Omega|\psi_\alpha(x)\psi_\alpha(y)|\Omega\rangle$$ или как матрицу
$$\langle \Omega|\psi_\alpha(x)\psi_\beta(y)|\Omega\rangle$$ или, что на мой взгляд было бы более разумно, как амплитуду перехода позитрона - число $$\langle \Omega|\bar{\psi}_\alpha(x)\psi_\alpha(y)|\Omega\rangle?$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение08.05.2017, 17:03 


29/12/14
158
Предлагаю вот как поступить. Давайте вы для начала ответите на несколько вопросов, чтобы недопонимания не произошло никакого. Кроме того, это вас на какие-то размышления навести может, как мне кажется.

1. Как вы понимаете состояние $|\Omega\rangle$ и чем оно отличается от $|0\rangle$? И можете ли вы переписать выражение $\langle \Omega | \varphi (x) \varphi(y) | \Omega \rangle$ в терминах чего-нибудь, где будет $\langle 0 | ... | 0 \rangle $?
2. Можете ли вы написать выражение для скалярного поля $\varphi (x)$ в терминах операторов рождения и уничтожения?
3. Знаете ли вы теорему Вика о связи T-упорядочения и нормального упорядочения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение08.05.2017, 18:08 


28/08/13
251
Gickle в сообщении #1215086 писал(а):
1. Как вы понимаете состояние $|\Omega\rangle$ и чем оно отличается от $|0\rangle$? И можете ли вы переписать выражение $\langle \Omega | \varphi (x) \varphi(y) | \Omega \rangle$ в терминах чего-нибудь, где будет $\langle 0 | ... | 0 \rangle $?
2. Можете ли вы написать выражение для скалярного поля $\varphi (x)$ в терминах операторов рождения и уничтожения?
3. Знаете ли вы теорему Вика о связи T-упорядочения и нормального упорядочения?

1. Состояние $|\Omega\rangle$ - наинизшее состояние(c энергией $E_0$) в теории со взаимодействием и оно отличается от $|0\rangle$ тем, что
$\langle \Omega|H|\Omega\rangle=E_0,$ тогда как $\langle 0|H_0|0\rangle=0,$ здесь $H_0$ - нормально упорядоченный гамильтониан свободной теории, $H=H_0+H_{int}$ - гамильтониан теории со взаимодействием. Для скалярного поля при условии несильного отличия $H$ от $H_0$ на двух страницах можно доказать, что $$\langle \Omega | \varphi (x) \varphi(y) | \Omega \rangle=\lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)}\frac{\langle 0|T\{\ \varphi_I (x) \varphi_I(y)exp(-i\int^T_{-T}dtH_I)\}|0\rangle}{\langle 0|T\{exp(-i\int^T_{-T}dtH_I)\}|0\rangle}$$
2. $$\varphi(x)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_p}}\left(a(p)e^{-ipx}+a^\dagger(p)e^{ipx}\right)$$
3. Теорема Вика(для скалярного поля):
$T\{\phi(x)\phi(y)...\}=N\{\phi(x)\phi(y)...\}+$ свёртки. Свёртки, в силу коммутационных отношений для скалярного поля - это пропагаторы Фейнмана, умноженные друг на друга и на несвёрнутые поля.
Считать скалярные корреляционные функции диаграммами тоже, вроде, умею. Мне просто кажется невнятно обоснованным то, что Пескин и Шредер пишут далее про применение этой техники для спинорных полей.
Цитата:
Кроме того, это вас на какие-то размышления навести может, как мне кажется.

Меня пока что всё это наводит на мысль, что матрицей двухточечная спинорная корреляционная функция быть не должна, впрочем, в этом я не вполне уверен: в этой странной КТП не удивлюсь ничему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение09.05.2017, 23:28 


29/12/14
158
Ascold
Извиняюсь, что долго отвечал. А можете тогда по аналогии получить выражение Фейнмановского пропагатора в виде интеграла по 4-импульсу? Ну и да, фермионный пропагатор - это матрица всё-таки.
P.S. Книга Пескина-Шредера - штука замечательная во многих смыслах, но всё-таки советую не ограничиваться ею одной (это вообще для любой области справедливо). Как по мне, одна из лучших книг для введения в КТП - Э. Зи: "Квантовая теория поля в двух словах". Единственный недостаток - там сразу применяется формализм функционального интегрирования, а канонический формализм отсутствует. Но для понимания каких-то физических аспектов - книга совершенно прекрасная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение10.05.2017, 00:45 


28/08/13
251
Ascold в сообщении #1215096 писал(а):
Извиняюсь, что долго отвечал. А можете тогда по аналогии получить выражение Фейнмановского пропагатора в виде интеграла по 4-импульсу? Ну и да, фермионный пропагатор - это матрица всё-таки.

Получить могу и в виде контурнного интеграла записать могу, вот только смысл этого пропагатора для меня остаётся совершенно туманным. Если спинорное поле: $$\psi(x)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_p}}\sum_s\left (a(p)u_p^se^{-ipx}+b^\dagger(p)v_p^se^{ipx}\right)$$ и сопряжённое к нему поле
$$\bar{\psi}(x)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_p}}\sum_s\left (a^\dagger(p)\bar{u}_p^se^{ipx}+b(p)\bar{v}_p^se^{-ipx}\right),$$
то первое, что приходит мне на ум, это сделать из полей $\bar{\psi}(x)$ и $\psi(y)$ лоренц-инвариантную амплитуду перехода наподобие таковой для скалярного поля. Раз амплитуда - это число, то из строки и столбца оно получается умножением строки на столбец, т.е.
$$\langle 0|\bar{\psi}(x)\psi(y)|0\rangle=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}e^{-ip(x-y)}\sum_s\bar{v}_p^sv_p^s=-2mD(x-y).$$
Это выражение лоренц-инвариантно и исчезает на пространственноподобном интервале, однако в учебниках, например у Пескина и Шредера(3.114-3.115) почему-то делают не так, а вводят 16-компонентную величину $$S_{ab}(x-y)=\langle 0|\psi_a(x)\bar{\psi}_b(y)|0\rangle=(i\not\partial_x+m)_{ab}D(x-y)$$
Мне кажется странным не только то, зачем 16 амплитуд, но и отсутствие в книгах вычисления собственно "истинной амплитуды" перехода электрона из точки $y$ в $x$, вместо этого говорится примерно следующее: "аналогично скалярному полю получим ряд Дайсона, фейнмановский пропагатор, свёртки".

Мне пока что необходимость пропагатора такого вида видится исключительно с позиции норм. упорядочивания произведений фермионных полей, именно там и вылазят величины, равные компонентам $S_{ab}(x-y)$, а вот наделение их смыслом перехода чего-то там куда-то там пока не вижу почему-то, ведь за спин отвечает не одна компонента спинора, а две.

Умные люди, в том числе на этом форуме, говорят, что много амплитуд нужно потому, что появился спин и 2 сорта частиц, но тогда возникает вопрос: как сосчитать амплитуду перехода, допустим, электрона из состояния со спином вверз по оси $z$ в точке $y$ в состояние электрона со спином вниз по оси $z$ в точке $x$ с помощью пропагатора $S_{ab}(x-y)$, модуль какой его компоненты квадрировать?

Цитата:
Книга Пескина-Шредера - штука замечательная во многих смыслах, но всё-таки советую не ограничиваться ею одной (это вообще для любой области справедливо). Как по мне, одна из лучших книг для введения в КТП - Э. Зи: "Квантовая теория поля в двух словах". Единственный недостаток - там сразу применяется формализм функционального интегрирования, а канонический формализм отсутствует.

Книг по КТП у меня больше десятка, Зи я тоже читал немного, но потом вернулся к Пескину, поскольку раздваивать мышление на два подхода одновременно сложновато. К сожалению, вопросы, малопонятные у Пескина, в книгах попроще часто игнорируются: Das, Yamomoto и Padmanabhan не дали мне просветления на тему фермионного пропагатора. Бьёркен и Дрелл вводят его тоже формально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение10.05.2017, 00:58 


29/12/14
158
Ascold в сообщении #1215337 писал(а):
Умные люди, в том числе на этом форуме, говорят, что много амплитуд нужно потому, что появился спин и 2 сорта частиц, но тогда возникает вопрос: как сосчитать амплитуду перехода, допустим, электрона из состояния со спином вверз по оси $z$ в точке $y$ в состояние электрона со спином вниз по оси $z$ в точке $x$ с помощью пропагатора $S_{ab}(x-y)$, модуль какой его компоненту квадрировать?

Как определяется амплитуда перехода между двумя состояниями? Вы можете записать названные вами состояния? Что тогда должно получиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение10.05.2017, 01:16 


28/08/13
251
Gickle в сообщении #1215339 писал(а):
Как определяется амплитуда перехода между двумя состояниями? Вы можете записать названные вами состояния? Что тогда должно получиться?

Электрон со спином вверх соответствует спинору $u(p,+s),$ значит, соотв. в т. $y$ состояние будет даваться (в силу того, где находится оператор его рождения $a^\dagger$ выражением $$\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_p}}\bar{u}(p,s)e^{ipy}a^\dagger(p,s)|0\rangle$$
или нет? Просто меня напрягает, что при построении решений ур-я Дирака с электроном изначально ассоциировался спинор $u$, а не $\bar{u},$ а здесь, если для рождения пользоваться полем $\psi(y),$ всплывает сопряжённый спинор.
Амплитуда перехода в представлении Гейзенберга для незаряженного скалярного поля - это $D(x-y)=\langle 0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle$.
В случае спинорного поля я плохо себе представляю, как и на каком основании обобщить это понятие. Или Вы намекаете, что раз состояние связано с 4-компонентным спинором, то и амплитуд перехода должно быть в итоге 4?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение10.05.2017, 13:02 


28/08/13
251
Бра-вектор электрона в точке $x$ со спином вниз(обозначим спиновой индекс в этой ситуации $-s$ ) будет иметь вид $$\langle 0|\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_q}}u(q,-s)e^{-iqx}a(q,-s),$$ тогда по аналогии со скалярным полем амплитуда перехода будет
$$\langle 0|\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_q}}\frac{d^3p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_p}}e^{-i(qx-py)}u(q,-s)\bar{u}(p,s)a(q,-s)a^\dagger(p,s)|0\rangle,$$
Спиноры $u$ можно выписать явно, в стандартном представлении(в нём их мне быстрее вычислять) это будут
$$\bar{u}(p,s)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{-p_z}{E_p+m} & \frac{-(p_x-ip_y)}{E_p+m}\end{pmatrix},$$
$$u(q,-s)=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \frac{q_x-iq_y}{E_q+m} \\ \frac{-q_z}{E_q+m}\end{pmatrix}.$$
Я вычислил далее матрицу $u(q,-s)\bar{u}(q,s),$ и из её вида совершенно непонятно, как по ней считать вероятность перехода.
Авторы же книг вообще делают не так: они не рассматривают $u(q,-s)u(q,s),$ а сразу считают амплитуды от полей $\langle 0|\bar{\psi}_a(x)\psi_b(y)|0\rangle$ т.е. по спиновым переменным $s$ суммируют. С учётом тождеств для спиноров $u$ получается красиво, но в итоге тоже совершенно неясно, как оттуда считать вероятности и где именно у Пескина в (3.114)-(3.115) спрятана информация о спине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение10.05.2017, 18:23 
Заслуженный участник


29/09/14
661
Ascold

Извините, если я не прав, но мне думается, что причина ваших затруднений - в недооценке важной роли взаимосвязей между разными сюжетами КТП, и важной роли понимания каждого из сюжетов. Не следует сюжеты воспринимать отрывочно или пренебрегать какими-то из них. Сложность таких взаимосвязей для понимания действительно есть, и она обусловлена во многом, помимо громоздкости необходимых выкладок, нетривиальностью самой трансформации привычных (если они для Вас уже привычные) представлений о частицах и о спине в КМ, которая происходит в КТП из-за требований СТО. Так что, детальное выяснение смысла квантово-полевых величин - это задача для трудоёмкой самостоятельной работы, её вряд ли удастся втиснуть в формат форума.

а) Более конкретно: ИМХО, термин "амплитуда перехода частицы из точки в точку" применительно к пропагатору в КТП - жаргонный; ясно же, что вероятность частице попасть в заданную мировую точку равна нулю, а значит, и амплитуда такой вероятности равна нулю. Смысл может иметь только амплитуда перехода частицы из одной области пространства-времени, где действует некоторый источник частицы (таким источником могут быть и другие частицы, порождающие данную частицу в акте взаимодействия), в другую область ПВ, где действует некий приемник частицы (им могут быть и другие частцы, поглощающие данную частицу в акте взаимодействия).

Амплитуда перехода частицы из источника в приемник должна быть безразмерной лоренц-инвариантной величиной, и она должна зависеть от "эффективности" источника и приемника (эффективность источников и приемников также описывается полями в ПВ). Другими словами, амплитуда одночастичного перехода это функционал по полевым переменным источника и приемника, а пропагатор это лишь ядро такого функционала.

б) Источники и приемники могут иметь какие-либо "поляризационные степени свободы". Например, в КЭД источником и приёмником фотона служит 4-векторный ток $J_{\mu}$ - математический объект с хорошо определённым и простым законом преобразования относительно группы Лоренца (для краткости я здесь пишу все индексы как нижние; это тоже "жаргон"). Значит, пропагатор фотона $D$, как ядро функционала, описывающего амплитуду вероятности однофотонного обмена между двумя 4-токами $J^{(2)}_{\nu}(x')$ и $J^{(1)}_{\mu}(x),$ должен иметь два индекса (в данном случае 4-векторных) и по ним должно вестись лоренц-инвариантное суммирование: $J^{(2)}_{\nu}(x')D_{\nu \mu}(x'-x)J^{(1)}_{\mu}(x)$ - такое выражение входит в амплитуду вероятности под знаки интегралов по координатам $x'$ и $x$ точек в ПВ.

Но это не означает, что обязательно должны существовать 4 типа поляризации реального фотона. Пропагатор устроен так, что он, наглядно говоря, выполняет роль "проекционного оператора" - выделяет из источников только 2 независимых поляризационных степени свободы для реального фотона с $m=0$; такова роль индексов у $D_{\nu \mu}$.

в) Оказывается, источник (и приемник) массивной (т.е. с $m \neq 0)$ частицы со спином $1/2$ должен иметь индекс тоже c 4 значениями, чтобы обладать простым законом пребразования относительно группы Лоренца, но это не "4-векторный" закон. Соответствующие индексы называют "биспинорными", их связь с индексами обычного нерелятивистского 2-компонентного спинора, описывающего реальный электрон, неочевидна и не так проста, как нам может быть хотелось бы из интуитивных ожиданий. Изучая этот сюжет, приходится разобраться в свойствах спиноров и биспиноров по отношению к группе Лоренца, выяснить, как реализуется лоренц-инвариантное суммирование по спинорным индексам разных типов.

Пропагатор электрона в КЭД, будучи ядром функционала с биспинорными источником и приемником, имеет 2 биспинорных индекса. В этом сюжете есть один "тонкий момент": в отличие от фотонного пропагатора электронный пропагатор антисимметричен к перестановке всех своих аргументов вместе с индексами; поэтому, чтобы амплитуда перехода не зависела от подобных перестановок, приходится требовать, чтобы биспинорные полевые амплитуды источника (и приемника) были не обычными, а грассмановыми "числами".

Метод операторов рождения и уничтожения, а также метод функционального интегрирования по полям - это просто другая математическая техника подобраться к вычислению тех же самых амплитуд перехода, которые нужны для описания процессов взаимопревращения и распространения частиц. В конечном счете интерес представляют амплитуды перехода, составляющие так называемую "матрицу рассеяния" ("S-матрицу"). Или даже не сами амплитуды, а вычисляемые с их помощью сечения процессов.

г) Если хотите, попробуйте вернуться назад, "к азам" и, с самым минимальным подглядыванием в книжки, детально ответьте себе на, казалось бы, очень простые вопросы (а я попробую помочь, если смогу; заодно и сам, может быть, получше разберусь в том, о чём тут говорю :-).

1) Вот первый простейший вопрос. Пусть у нас есть частица со спином $1/2$ и пусть она находится в состоянии со спином вдоль оси $z.$ Исходим из обычной самой простой КМ-картины спина, нерелятивистской; эти, на первый взгляд безобидные, слова означают, что мы для простоты предполагаем импульс частицы равным нулю (а это в свою очередь означает, что частица рассматривается в её системе покоя, что в свою очередь означает, что частица предполагается у нас массивной: $m \neq 0).$ Тогда орбитальная часть волновой функции, т.е. $e^{i \mathbf{p \cdot r}},$ равна единице (с точностью до нормировочной константы - на нормировку пока не обращаем внимания), так что состояние частицы описывается просто базисным спинором "спин вверх по оси z", т.е. столбцом-спинором $u$ с двумя числовыми компонентами: $u_1=1,$ $u_2=0.$

Собственно вопрос Вам: выпишите компоненты спинора $u',$ полученного из $u$ бустом вдоль оси $z$ со скоростью $V.$

Напомню, что после буста со скоростью $\mathbf{V}$ любое покоившееся тело выглядит движущимся со скоростью $\mathbf{V};$ не обязательно считать, будто тела подверглись ускорению, можно считать, что прежние тела наблюдает другой наблюдатель - относительно него движутся со скоростью $\mathbf{V}$ все те тела, которые покоились относително исходного наблюдателя. Присутствующие в хорошо известных (для 4-векторов) формулах преобразований Лоренца характерные выражения с $\mathbf{V}$ бывает удобно записывать через через энергию $E_{\mathbf{p}}$ и импульс $\mathbf{p}$ какого-нибудь массивного тела, которое до буста покоилось, т.е. имело равный нулю импульс и энергию $E_0=m:$

$\dfrac{\mathbf{V}}{\sqrt{1-V^2}}=\dfrac{\mathbf{p}}{m}\, , \qquad \dfrac{1}{\sqrt{1-V^2}}=\dfrac{E_{\mathbf{p}}}{m} .$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение10.05.2017, 21:11 


28/08/13
251
Благодарю за развёрнутый ответ.
Cos(x-pi/2) в сообщении #1215499 писал(а):
ясно же, что вероятность частице попасть в заданную мировую точку равна нулю, а значит, и амплитуда такой вероятности равна нулю.

Это я просто вместо фразы "плотность вероятности" из-за лени часто пишу "вероятность".
Цитата:
Собственно вопрос Вам: выпишите компоненты спинора $u',$ полученного из $u$ бустом вдоль оси $z$ со скоростью $V.$

Возможны 2 варианта. Пусть спинор $u$ - верхняя половинка биспинора, тогда $u'=e^{-\sigma_z\xi/2}u.$ Буст задаётся величиной $\xi=Arth(v/c).$
Квадрат любой матрицы Паули $$\sigma_i^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},$$ поэтому
$$e^{-\sigma_z\xi/2}=1-\sigma_z\xi/2+\sigma_z^2(\xi/2)^2/2!-\sigma_z^3(\xi/2)^3/3!+...=1-\sigma_z\xi/2+1\cdot(\xi/2)^2/2!-\sigma_z(\xi/2)^3/3!+..,$$ т.е.
$$e^{-\sigma_z\xi/2}=\begin{pmatrix}1-\xi/2+(\xi/2)^2/2!-(\xi/2)^3/3!+...&0\\0&1+\xi/2+(\xi/2)^2/2!+(\xi/2)^3/3!+...\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{-\xi/2}&0\\0&e^{\xi/2}\end{pmatrix},$$ следовательно,
$$u'=\begin{pmatrix}e^{-\xi/2}\\0\end{pmatrix}.$$ Поскольку $\dfrac{\mathbf{V}}{\sqrt{1-V^2}}=\dfrac{\mathbf{p}}{m}=\sh(\xi)\, , \qquad \dfrac{1}{\sqrt{1-V^2}}=\dfrac{E_{\mathbf{p}}}{m}=\ch(\xi),$ можно записать $$e^{-\xi/2}=\ch(\xi/2)-\sh(\xi/2)=\sqrt{\frac{\ch\xi+1}{2}}-\sqrt{\frac{\ch\xi-1}{2}}=\sqrt{\frac{E_p/m+1}{2}}-\sqrt{\frac{E_p/m-1}{2}}.$$
Или можно иначе: $$e^{-\xi/2}=\sqrt{e^{-\xi}}=\sqrt{\ch(\xi)-\sh(\xi)}=\sqrt{\frac{E_p-p}{m}}.$$
Надеюсь, нигде не обсчитался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение10.05.2017, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63662
У вас получилась какая-то константа. А должна быть плоская волна по $z,$ как я понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение10.05.2017, 21:48 


28/08/13
251
Munin в сообщении #1215537 писал(а):
У вас получилась какая-то константа. А должна быть плоская волна по $z,$ как я понимаю.

Так я не предположил спинор решением какого-либо диф. уравнения - просто умножил матрицу буста на столбец, как предложил $\mathbf{Cos(x-pi/2)}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение10.05.2017, 22:12 
Заслуженный участник


29/09/14
661
Да, вроде, всё правильно, если не учитывать орбитальную часть волновой функции и предположить, как Вы и сделали, что $u'=e^{-\sigma_z\xi/2}u.$ К последнему предположению вскоре придётся ещё вернуться, чтобы разобраться, откуда оно такое взялось, а пока - следующий вопрос:

2) Получилось, что $u'_2=0,$ но компонента

$u'_1=\sqrt{\dfrac{E_p-|\mathbf{p}|}{m}}=\left (\dfrac{1-V}{1+V} \right )^{1/4}<1$

не равна единице, в отличие от $u_1=1.$ Если учесть орбитальную часть волновой функции при $t=0$, то надо домножить обе компоненты этого спинора на $e^{i|\mathbf{k'}|z},$ как справедливо заметил Munin. Однако важно, что при этом по модулю всё-равно имеем константы: $|u'_1|<1$ и $u'_2=0.$

Вопрос Вам: каков был физический смысл чисел $|u_1|^2=1, \, |u_2|^2=0,$ и как с точки зрения такого физ. смысла Вы попытались бы объяснить себе только что подтверждённый Вами факт: в движущейся системе отсчёта имеем $|u'_1|^2<1,$ хотя по-прежнему $|u'_2|^2=0.$

-- 10.05.2017, 22:42 --

Для ясности, задам тот же вопрос немного по-другому. У нас сначала была частица со спином $1/2,$ направленным вдоль $z.$ Теперь мы разглядываем ту же частицу, двигаясь против оси $z;$ вроде, это то же самое, как будто частица движется относительно нас вдоль оси $z.$ Ну и что? Разве такое движение может изменить спиновое состояние частицы?

Интуитивно ясно, что не может: спин частицы останется с достоверностью направленным вдоль $z.$ Расчёт это и подтверждает: компонента спинора $u'_2=0$ по-прежнему. И тогда, говорит нам наша нерелятивистская интуиция, должно быть по-прежнему $|u'_1|^2=1.$ Но вот это ожидание "почему-то" не подтвердилось расчётом! Вопрос: почему не подтвердилось? Как физически объяснить себе результат $|u'_1|^2 \neq 1 \, ?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение11.05.2017, 18:18 


28/08/13
251
На интуитивном уровне, пока без формул мне кажется, что спин - это какой-никакой угловой момент, а значит, с ним можно связать (псевдо-)вектор, торчащий вдоль оси $z$. Нулевая вторая компонента указывает на то, что он сонаправлен, а не противонаправлен этой оси. При преобразованиях Лоренца компоненты вектора вдоль напрпвдения движения сокращаются, мне кажется, здесь имеет место именно это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение11.05.2017, 19:34 
Заслуженный участник


29/09/14
661
Ascold в сообщении #1215782 писал(а):
спин - это какой-никакой угловой момент, а значит, с ним можно связать (псевдо-)вектор, торчащий вдоль оси $z.$ Нулевая вторая компонента указывает на то, что он сонаправлен, а не противонаправлен этой оси.

Это-то верно, такая картина у нас и предполагалась. Но плавно изменять свою величину квантовомеханический угловой момент не может. В общем случае для величины спина любых частиц КМ допускает только полуцелые или целые значения: $0,\, 1/2, \, 1, \, ... \, .$ Раз уж величина спина у нашей частицы равна $1/2,$ то она равна $1/2$ в каждой системе отсчёта, т.е. вне зависимости от того, куда и как движется (или не движется) частица. Спин не испытывает лоренцева сокращения.

А вот любой элемент объёма испытывает лоренцево сокращение. И в любом элементе объёма мы можем с какой-то вероятностью обнаружить нашу квантовую частицу. Волновая функция частицы с определённым импульсом - плоская волна, по модулю равная константе; мы вполне можем думать, что $|u_1|$ это модуль волновой функции нашей частицы, если она обнаруживается со спином вдоль $z,$ а $|u_2|$ - модуль волновой функции, если она обнаруживается со спином против оси $z$ (в нашем частном примере $u_2=0$ - частица не обнаруживается со спином против оси $z,$ но это лишь частный случай). Тот факт, что эти модули не зависят от координат, соответствует полностью однородной "размазке" вероятности обнаружения частицы по пространству: если вектор импульса частицы задан точно, то её координаты - полностью неопределённые. В таком контексте Вы и попробуйте назвать физ. смысл $|u_1|^2+|u_2|^2.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group