2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение18.05.2017, 00:18 
Заслуженный участник


29/09/14
609
Да. (Хорошо бы, конечно, поправить опечатку: в средних частях равенств для матриц $L_L, \, L_R$ потерялась матрица $\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\sigma};$ но если "правка" не работает, то уж ладно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение18.05.2017, 01:33 


28/08/13
236
Cos(x-pi/2) в сообщении #1217050 писал(а):
хорошо бы поправить опечатку

К сожалению, уже не получается.
Цитата:
3) Пытаемся выяснить, как этот левый ток преобразуется под действием буста:
$\mathbf{j'}_L=-u'^+\boldsymbol{\sigma}u'=-(L_Lu)^+\boldsymbol{\sigma}(L_Lu)=-u^+(L_L\boldsymbol{\sigma}L_L)u \, .$
Расчёт показал, что
$$\mathbf{j'}_L=-u^+\left(\boldsymbol{\sigma}-\frac{p}{m}\mathbf{n}+\frac{E-m}{m}(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\mathbf{n}\right)u=-u^+\left(-\frac{p}{m}\mathbf{n}+\frac{E}{m}(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\mathbf{n}+\boldsymbol{\sigma}-(\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\mathbf{n}\right)u,$$ т.е., с учётом предыдущего пункта,$$\mathbf{j'}_L=\frac{\rho\mathbf{V}+\mathbf{j}_{L||}}{\sqrt{1-V^2}}+\mathbf{j}_{L\perp}}.$$
Цитата:
Кстати, после этого подумайте, как убедиться в том, что рассматриваемый здесь в общем виде 4-ток $(\rho, \, \mathbf{j})$ соответствует движению именно со скоростью света.

4-ток должен иметь нулевой модуль - завтра попробую это доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение19.05.2017, 18:49 


28/08/13
236
Итак, если компоненты левого спинора обозначить $u_1$ и $u_2,$ то
$$j_x=-u^+\sigma_xu=-u_1u_2^*-u_1^*u_2,$$ $$j_y=-u^+\sigma_yu=-i(u_2^*u_1-u_1^*u_2),$$
$$j_z=-u^+\sigma_zu=-|u_1|^2+|u_2|^2,$$ отсюда легко получается
$$|j^{(4)}|^2=\rho^2-j_x^2-j_y^2-j_x^z=0.$$
У меня по ходу расчёта возник такой вопрос - обязательно ли было вычислять и квадрировать компоненты, вдруг можно было проще - сразу доказать, что $|\mathbf{j}|^2=|-u^+\boldsymbol{\sigma}u|=|u^+u|^2 \ ?$
У меня не получилось в общем виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение19.05.2017, 21:12 
Заслуженный участник


29/09/14
609
Да, верно. Можно и в общем виде, если Вы уже убедились раньше, что вектор, определяемый равенством $2\mathbf{s}=(u^+\boldsymbol{\sigma}u)/(u^+u)$ есть единичный вектор (другими словами, если Вы уже убедились раньше, что величина вектора спина $\mathbf{s}$ в случае двухкомпонентного спинора всегда равна $1/2).$

Небольшое замечание: лучше квадрат 4-вектора обозначать именно как квадрат или как свёртку по двум 4-векторным индексам, а не как квадрат модуля. Например, если $A^{\mu}$ - компоненты 4-вектора $(A^0, \, A^x,A^y,A^z)=(A^0, \, \mathbf{A}),$ то:

$A^2=A_{\mu}A^{\mu}=A^{\mu}A_{\mu}=(A^0)^2-\mathbf{A \cdot A} \, .$

Модуль - величина неотрицательная, а квадрат 4-вектора в случае пространственно-подобного 4-вектора окажется отрицательным.

(Иду допечатывать продолжение рассказа про спиноры.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение20.05.2017, 02:07 
Заслуженный участник


29/09/14
609
Итак, пытаемся продвинуться дальше.

Понимая под компонентами произвольного спинора пару произвольных комплексных чисел $u_1, \,u_2,$ преобразующихся при бусте матрицей $L_L$ (такой спинор мы называем левым) или $L_R$ (такой спинор называем правым), мы заключили, что описываемая спинором частица без устали "жужжит, летает". Но это лишь часть картины, мы обошли вниманием орбитальную часть волновой функции: она у нас как бы отдыхала в сторонке.

В величины $(\rho, \, \mathbf{j})$ входит произведение компонент спинора с комплексно сопряжёнными компонентами, поэтому прежние выкладки не испортятся при домножении чисел $u_1, \, u_2$ на волновую функцию в виде фазового множителя, т.е. при домножении на плоскую волну $e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}}t}.$

Однако такая плоская волна "жужжит, летает" сама по себе, не спрашивая у спинора, куда и как быстро ей лететь. Она летит с групповой скоростью $\mathbf{v},$ определяемой производными частоты $\omega_{\mathbf{k}}=\sqrt{|\mathbf{k}|^2+m}$ по волновому вектору:

$v_x=\frac{\partial \omega_{\mathbf{k}}}{\partial k_x}=\frac{k_x}{\omega_{\mathbf{k}}} \, , \quad v_y=\frac{\partial \omega_{\mathbf{k}}}{\partial k_y}=\frac{k_y}{\omega_{\mathbf{k}}} \, ,\quad v_z=\frac{\partial \omega_{\mathbf{k}}}{\partial k_z}=\frac{k_z}{\omega_{\mathbf{k}}} \, .$

Чтобы сделать величину этой скорости равной $1,$ можно руками положить массу $m=0;$ тогда $\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|$ и $\mathbf{v}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ есть единичный вектор. А чтобы направить такой вектор против (в случае левого спинора) или вдоль (в случае правого спинора) $2\mathbf{s}=u^+\boldsymbol{\sigma} u /u^+u,$ можно руками выбрать $\mathbf{k}$ направленным именно туда.

Но более естественно не подгонять вручную плоскую волну под произвольно заданный спинор, а считать произвольно заданным аргументом импульс частицы (при $\hbar=1$ импульс $\hbar \mathbf{k}$ это то же самое, что волновой вектор $\mathbf{k}),$ и подчинить спинор с плоской волной

$u\, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}$

некоему уравнению движения, которое само установит $\omega=\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|,$ и само сделает компоненты спинора такими, чтобы направление спина $\mathbf{s}$ должным образом соответствовало произвольно заданному направлению $\mathbf{k}.$

Попробуем понять, как должно быть устроено уравнение движения (сначала для спинорной плоской волны, а затем для спинорного поля в общем виде. Для определённости, пусть речь идёт о левых спинорах. Повторить аналогичные рассуждения для правых спиноров - упражнение).

Пусть $\mathbf{N}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ - единичный вектор вдоль заданного $\mathbf{k}.$ В качестве лёгкого упражнения можете проверить, что следующие две матрицы составляют полную систему проекционных операторов, действующих на 2-компонентные спиноры:

$\text{П}_{\mathbf{N}}=(1/2)(1+\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

$\text{П}_{-\mathbf{N}}=(1/2)(1-\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

(проверяется, что квадрат каждой из этих матриц равен ей самой, причём $\text{П}_{\mathbf{N}}+\text{П}_{-\mathbf{N}}=1\, ,$ $ \text{П}_{\mathbf{N}} \text{П}_{-\mathbf{N}}=0.)$

Если спинор $u$ даёт вектор спина $\mathbf{s}$ в направлении против $\mathbf{N},$ то он собственный для $\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}$ с собственным значением $(-1),$ и поэтому он собственный для $\text{П}_{-\mathbf{N}}$ с с. зн. $1,$ а для $\text{П}_{\mathbf{N}}$ он собственный с нулевым с.зн.:

$\text{П}_{\mathbf{N}} \, u=0 \, .$

Можно считать, что это условие и служит уравнением для спинора $u:$ левый спинор не содержит правой составляющей. Решение его соответствует состоянию частицы со спином $\mathbf{s}$ в направлении против $\mathbf{N}.$ Умножив обе стороны этого спинорного уравнения на $2|\mathbf{k}|,$ получим то же самое уравнение в немного другом виде:

$(|\mathbf{k}| + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})u=0 \, .$

Теперь усовершенствуем его так, что оно позволит решить сразу обе задачи - определить зависимость частоты от волнового вектора, и зависимость компонент спинора от волнового вектора. Заменим в уравнении слагаемое $|\mathbf{k}|$ параметром $\omega$ с заранее не известным нам значением:

$(\omega + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})u=0 \, .$

Получилась система двух линейных однородных алгебраических уравнений для $u_1, u_2:$

$\left[\begin{array}{cc}\omega+k_z & k_x-ik_y\\k_x+ik_y & \omega-k_z\end{array}\right] \begin{bmatrix} u_1\\ u_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$

Чтобы такая система имела отличное от нуля решение, следует приравнять нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; тем самым возникает уравнение для $\omega:$

$\omega^2-|\mathbf{k}|^2=0 \, .$

Оно имеет два корня, положительный и отрицательный: $\omega= \pm \omega_{\mathbf{k}} \, ,$ где $\omega_{\mathbf{k}}=|\mathbf{k}|.$

Чтобы плоская волна с параметром $\omega$ могла претендовать по своему смыслу на волновую функцию частицы с энергией $\omega$ (у нас $\hbar=1,$ поэтому частоту $\omega$ можем понимать как энергию $\hbar \omega),$ выберем положительный корень: $\omega=\omega_{\mathbf{k}}.$ Подставив это в систему и решив её, получим некоторый спинор (с точностью до произвольного нормировочного множителя); обозначим его как $u(\mathbf{k}),$ он описывает частицу со спином $\mathbf{s},$ направленным противоположно заданному $\mathbf{k}.$

Итак, решением уравнения для плоско-волновой спинорной конфигурации c положительной частотой

$(\omega + \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})\, u \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}=0$

является спинор (без учёта произвольного нормировочного множителя):

$u(\mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$


Мы рассмотрели уравнение движения "в импульсном представлении". То же самое уравнение можно записать с помощью операторов дифференцирования $\partial _{\mu}$ по пространственно-временным координатам, т. е. $(\partial / \partial t, \, \nabla):$

$(i \frac{\partial}{\partial t} -i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, u \,e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}=0 \, .$

Наконец, итоговое обобщение - подчиняем этому уравнению произвольное левое спинорное поле $\psi_L(t, \mathbf{r}):$

$(i \frac{\partial}{\partial t} -i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \psi_L(t, \mathbf{r})=0 \, .$

Для краткой записи полезно ввести в дело обозначение $x$ вместо $t, \mathbf{r}$ и матричный "4-вектор" $\bar{\sigma}^{\mu}$ с компонентами $(\hat 1, -\boldsymbol{\sigma});$ тогда уравнение принимает вид:

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)=0 \, .$


Частные решения в виде плоских волн с положительными частотами нам уже известны. Поскольку уравнение линейное и однородное, то решением будет и их линейная комбинация с произвольными числовыми коэффициентами $a_{\mathbf{k}}$ (при этом спиноры $u(\mathbf{k})$ можно считать нормированными каким-либо "стандартным" условием, в которое пока не вникаем):

$\sum_{\mathbf{k}} \, a_{\mathbf{k}}\, u(\mathbf{k})\,e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Это не самое общее решение, а лишь часть общего решения, называемая "положительно-частотной" частью. Легко проверить, что решением прежнего "уравнения движения в импульсном представлении" будет также плоская волна с противоположным знаком показателя экспоненты, т.е. плоская волна с отрицательной частотой $\omega=-\omega_{\mathbf{k}}:$

$u(\mathbf{k}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Поэтому в общее решение $\psi_L(x)$ однородного спинорного уравнения $i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \psi_L(x)=0$ должна войти наряду с положительно-частотной частью также и линейная комбинация отрицательно-частотных волн; их произвольные коэффициенты обозначим как $b^*_{\mathbf{k}}:$

$\psi_L(x)=\sum_{\mathbf{k}}\, a_{\mathbf{k}}\, u(\mathbf{k}) \, e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega_{\mathbf{k}} t} + \sum_{\mathbf{k}} \, b^*_{\mathbf{k}} \, u(\mathbf{k}) \, e^{-i\mathbf{k \cdot r}+i \omega_{\mathbf{k}} t} \, .$

Знак перед $\mathbf{k}$ в этих суммах не особо важен, так как его при желании можно изменить, вводя новую переменную суммирования $(-\mathbf{k}).$ Знак частоты при этом не меняется, так как $\omega_{\mathbf{k}}=\omega_{-\mathbf{k}}.$

Отрицательную частоту $(-\omega_{\mathbf{k}})$ нельзя интерпретировать как энергию частицы: эта отрицательная частота неограниченно уменьшается, а не растёт (как положено энергии) с ростом импульса частицы. Значит, и отрицательно-частотная часть решения уравнения движения не имеет привычного в КМ смысла волновой функции частицы.

Таким образом созрел вопрос, что называется, "на засыпку": как интерпретировать наличие у релятивистского полевого уравнения отрицательно-частотных решений, и что с ними делать дальше (в каких-либо осмысленных физических задачах)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение20.05.2017, 21:33 


28/08/13
236
Цитата:
Пусть $\mathbf{N}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}|$ - единичный вектор вдоль заданного $\mathbf{k}.$ В качестве лёгкого упражнения можете проверить, что следующие две матрицы составляют полную систему проекционных операторов, действующих на 2-компонентные спиноры:

$\text{П}_{\mathbf{N}}=(1/2)(1+\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

$\text{П}_{-\mathbf{N}}=(1/2)(1-\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, ,$

(проверяется, что квадрат каждой из этих матриц равен ей самой, причём $\text{П}_{\mathbf{N}}+\text{П}_{-\mathbf{N}}=1\, ,$ $ \text{П}_{\mathbf{N}} \text{П}_{-\mathbf{N}}=0.)$

Поскольку $\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{N}$ и выше было доказано, что $(\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma})^2=1,$
$\text{П}_{\mathbf{N}}^2=(1+2\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma}+1)/4=(1+\mathbf{N} \cdot \boldsymbol{\sigma})/2=\text{П}_{\mathbf{N}.$
Остальные соотношения также считаются в уме
В этих обозначениях правый спинор буде сотбственным с единичным собственным значением для $\text{П}_{\mathbf{N}}$ и с нулевым - для $\text{П}_{\mathbf{-N}},$ т.е.

$$\text{П}_{\mathbf{-N}}u_R=0.$$
Умножив обе стороны этого ур-я на $2|\mathbf{k}|,$ получим
$(|\mathbf{k}| - \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\sigma})u=0 \, .$ отсюда

$(\omega-\mathbf{k}\cdot\boldsymbol{\sigma})u=0, \ $ или же

$\begin{pmatrix}\omega-k_z & -k_x+ik_y\\-k_x-ik_y & \omega+k_z\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$
Зануляя определитель, получаем то же самое
$\omega^2-|\mathbf{k}|^2=0,$
что операторами дифференцирования перепишется в виде
$(i \frac{\partial}{\partial t} +i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \, u \,e^{i\mathbf{k \cdot r}-i \omega t}=0 \, .$
В силу линейности это будет также для произвольного правого спинорного поля:
$(i \frac{\partial}{\partial t} +i \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}) \psi_R(t, \mathbf{r})=0 \, .$
Ну и аналогично будет отрицательно-частотное решение и разложение общего решения по соотв. экспонентам.
Цитата:
Таким образом созрел вопрос, что называется, "на засыпку": как интерпретировать наличие у релятивистского полевого уравнения отрицательно-частотных решений, и что с ними делать дальше (в каких-либо осмысленных физических задачах)?

Думаю, я здесь не буду оригинален: вслед за Дираком введём "море электронов" с принципом Паули, заполняющее все отрицательно-частотные(энергетические) состояния из которого при получении определённой энергии электрон может "вылететь", создав там дырку, соотв. частице с энергией, импульсом и спином, противоположного имеющемуся в наших разложениях знака.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: правила Фейнмана для фермионов
Сообщение21.05.2017, 00:11 
Заслуженный участник


29/09/14
609
Хорошо. И да, "дырка в море Дирака" - наглядная аналогия для понятия "античастица" в случае частиц, подчиняющихся принципу запрета Паули. (В обсуждаемой нами игрушке рассматриваются ещё не настоящие электроны, а безмассовые фермионы: что-то вроде безмассовых нейтрино, если бы такие существовали в природе.) Похожая идея о дырках, как о разновидности "квазичастиц", хорошо себя оправдала в физике полупроводников, а также и металлов.

Но считать море Дирака реальностью не стоит. В КТП релятивистские уравнения поля имеют отрицательно-частотные решения также и в случае бозонных полей; для бозонов нет принципа запрета, "моря Дирака" быть не может, но античастицы, тем не менее, есть.

Решение "проблемы отрицательно-частотных волн" в КТП, применимое и к фермионам и к бозонам, радикальное - в общем случае отказаться от интерпретации поля $\psi(x)$ как волновой функций одной частицы, и считать $\psi(x)$ оператором $\hat{\psi}(x)$: амплитуды $a_{\mathbf{k}}$ положительно-частотных составляющих заменяются операторами уничтожения $\hat{a}_{\mathbf{k}}$ частиц с импульсами $\mathbf{k}$ и с положительными энергиями $\omega_{\mathbf{k}},$ амплитуды $b^*_{\mathbf{k}}$ отрицательно-частотных составляющих заменяются операторами рождения $\hat{b}^{\dagger}_{\mathbf{k}}$ античастиц с импульсами $\mathbf{k}$ и тоже с положительными энергиями $\omega_{\mathbf{k}}.$ Т. е. главной идеей оказалась не картина "дырки в ферми-море", а некое, не очень-то очевидное, соответствие между отрицательными частотами в КТП и понятием "античастица". Вот цитата на этот счёт:
С. Вайнберг в томе 1 Квантовой теории полей писал(а):
<...> в результате развития квантовой теории поля интерпретация античастиц как дырок стала ненужной, несмотря на то, что до сих пор она, к сожалению,просачивается на страницы многих учебников. Процитируем Джулиана Швингера: «Картина бесконечного моря электронов с отрицательной энергией рассматривается сейчас в лучшем случае как исторический курьез и прочно забыта».

Вместо операторного формализма в КТП может применяться метод континуального интегрирования по полям, а также (может быть, менее известный) швингеровский "метод источников".

Последний удобен для быстрого пояснения понятия одночастичного пропагатора. (Попробую составить такое пояснение, сначала опять-таки на прежнем примере безмассовых спиноров; но не знаю, как быстро справлюсь). А пока советую Вам продолжать по книгам разбираться с формализмом полевых операторов. А также, в качестве опережающего упражнения к пояснениям о пропагаторах, подумайте, как решить уравнение для, например, левого спинорного безмассового поля $\psi_L(x)$ в присутствии спинорного же произвольного источника $J(x):$

$i \partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)=J(x) \, .$

Заодно полезно убедиться, что $\partial _{\mu}\bar{\sigma}^{\mu} \, \psi_L(x)$ преобразуется как правый спинор, так что в указанном неоднородном уравнении надо считать $J(x)$ правым спинорным полем $J_R(x).$ В аналогичном неоднородном уравнении для правого спинорного поля

$i \partial _{\mu} \sigma^{\mu} \, \psi_R(x)=J(x) $

источник должен быть левым спинором $J_L(x);$ в этом уравнении матрицами $\sigma^{\mu}$ являются $\hat 1, \, \boldsymbol{\sigma}.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group