2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Арифметические прогрессии
Сообщение04.05.2017, 21:58 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Доказать без теоремы Дирихле, что по крайней мере одна из двух прогрессий $5k+2$ и $5k+3$ содержит бесконечно много простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические прогрессии
Сообщение04.05.2017, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Если в обеих конечно - перемножим их все, получим число с ненулевым остатком по модулю $5$. Прибавим либо вычтем $1$ - получим число с остатком $2$ либо $3$. А т.к. произведение чисел, дающих остаток $1$ либо $4$, дает остаток $1$ либо $4$, то у полученного числа есть простой делитель, дающий остаток $2$ либо $3$, который непонятно почему не попал в наше произведение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические прогрессии
Сообщение04.05.2017, 22:21 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
mihaild

Я примерно так и думал доказывать, но мне кажется, все-таки ошибся, потому что непонятно, что делать, если после перемножения получится число с остатком 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические прогрессии
Сообщение04.05.2017, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Получилось число $5k + 2$. Какие простые множители у числа $5k + 3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические прогрессии
Сообщение04.05.2017, 22:45 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Но $5k+3$ уже четное, и дальше неясно, какие там множители.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические прогрессии
Сообщение04.05.2017, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
$5k + 3$ нечетное, т.к. $5k + 2$ четное - оно делится на все простые числа вида $5n + 2$, в частности, на $2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические прогрессии
Сообщение04.05.2017, 23:07 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
А, теперь понял. Произведение получается четным, так что все правильно. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group