2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дискретное синус-преобразование Фурье от второй производной
Сообщение02.05.2017, 12:32 


02/05/17
34
Здравствуйте! Никак не могу уяснить для себя вывод формулы дискретного синус-преобразования от второй производной решетчатой функции. Вторая производная представлена аппроксимацией по конечно - разностной схеме. Начну по порядку. Имеется дифференциальное уравнение для функции \upsilon \left( {x,z} \right): $ \frac{{{\partial ^2}\upsilon }}{{\partial {z^2}}} + 2 \cdot i \cdot k\frac{{\partial \upsilon }}{{\partial x}} = 0$ с граничными условиями \upsilon \left( {x,0} \right) = \upsilon \left( {x,{z_{\max }}} \right) = 0. Это уравнение дискретизируется по z. Причем вторая производная по z аппроксимируется по конечно - разностной схеме следующим образом:$ \frac{{{\partial ^2}\upsilon }}{{\partial {z^2}}} \sim \frac{{\upsilon \left( {x,z + \Delta z} \right) + \upsilon \left( {x,z - \Delta z} \right) - 2 \cdot \upsilon \left( {x,z} \right)}}{{\Delta {z^2}}}$. Если обозначить дискретный оператор взятия второй производной по z по конечно - разностной схеме как D^2, то, применяя его к последовательности значений исходной функции \upsilon, дискретизированной с шагом \Delta z, получим последовательность значений:
{w_1}\left( x \right) = \frac{{{\upsilon _2}\left( x \right) - 2 \cdot {\upsilon _1}\left( x \right)}}{{\Delta {z^2}}}
{w_j}\left( x \right) = \frac{{{\upsilon _{j + 1}}\left( x \right) + {\upsilon _{j - 1}}\left( x \right) - 2 \cdot {\upsilon _j}\left( x \right)}}{{\Delta {z^2}}}
{w_{L - 1}}\left( x \right) = \frac{{{\upsilon _{L - 2}}\left( x \right) - 2 \cdot {\upsilon _{L - 1}}\left( x \right)}}{{\Delta {z^2}}}
Таким образом дискретное представление дифференциального уравнения будет выглядеть так:
{D^2}\widetilde \upsilon \left( x \right) + 2 \cdot i \cdot k \cdot \frac{{\partial \widetilde \upsilon }}{{\partial x}} = 0
Далее необходимо применить к уравнению дискретное синус-преобразование \widetilde Wследующего вида:
{U_l} = \sqrt {\frac{2}{L}}  \cdot \sum_{j = 1}^{L - 1} {{\upsilon _j} \cdot \sin \left( {\frac{{\pi  \cdot j \cdot l}}{L}} \right)}
Никак не получается вывести данную формулу. В книге перед данной формулой сказано следующее:"Rearranging terms,we write the discrete sine transform of \widetilde W"
Как утверждается в книге, если применить данное преобразование к дискретизированной версии второй производной, то есть \widetilde W{D^2}\widetilde \upsilon, то результирующая последовательность значений будет удовлетворять следующему соотношению:
{W_l} =  - 4 \cdot {\sin ^2}\left( {\frac{{\pi  \cdot l}}{{2 \cdot L}}} \right) \cdot {U_l}
где {U_l} результат дискретного синус-преобразования от исходных значений дискретизированной функции \widetilde \upsilon.
Я никак не смог вывести данной соотношение. В книге перед данной формулой сказано следующее: "Rearranging terms, we write the discrete sine transform \widetilde W of {D^2}\widetilde \upsilon as". И далее конечная формула. Насколько я понимаю данная фраза говорит о том что мы меняем местами оператор дифференцирования и оператор дискретного синус-преобразования. При этом получается примерно следующее:
{W_l} = \sum_{j = 1}^{L - 1} { - 4 \cdot {\upsilon _j} \cdot \sin (} \frac{{\pi  \cdot j \cdot l}}{L}) \cdot {\sin ^2}\left( {\frac{{\pi  \cdot j}}{{2 \cdot L}}} \right)
Похоже я что - то недопонимаю. Или не замечаю чего - то очень простого. Буду рад любой подсказке и помощи. Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное синус-преобразование Фурье от второй производной
Сообщение02.05.2017, 14:09 


02/05/17
34
Цитата:
Никак не получается вывести данную формулу. В книге перед данной формулой сказано следующее:"Rearranging terms,we write the discrete sine transform of \widetilde W"
Прошу прощения, данная фраза лишняя, ее не нужно принимать во внимание

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное синус-преобразование Фурье от второй производной
Сообщение03.05.2017, 14:56 


02/05/17
34
Провел численный эксперимент в Mathcad и вяснилось что если дискретизировать функцию $ f\left( x \right) = \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( x \right) $ в интервале $ [0..\pi ] $ то ни приведенная ни полученная мною формулы не подтверждаются. Окончательно не понимаю что происходит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное синус-преобразование Фурье от второй производной
Сообщение08.05.2017, 23:19 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
SergeiSX в сообщении #1213593 писал(а):
При этом получается примерно следующее:

Примерно - не надо. Надо - точно.
Ошибка в Вашей формуле: нада $l$ вместо $j$ (видимо, из-за тригонометрии.
На всякий случай: есть такая формула
$\sin (x+a) + \sin (x-a) - 2\sin x = - 4\cdot \sin x \cdot \sin^2\frac{a}{2}$
SergeiSX в сообщении #1213865 писал(а):
формулы не подтверждаются.

И это странно: Должно быть...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group