Характеристическая функция

[Purus_Idiota]

Здравствуйте. Натолкните, пожалуйста, на мысль в решении вот такой вот задачи:

Найти характеристическую функцию $\xi_{1}^2 - \xi_{2}^2$, если $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ независимые случайные величины с нормальным распределением $N(0,1)$

Я так понимаю, что нужно сначала найти плотность распределения случайной величины $\eta = \xi^2$, а потом находить $\phi(t) = Me^{it(\xi_{1}^2 -\xi_{2}^2)} = Me^{it\eta_{1}}Me^{-it{\eta_{2}}} = \phi_{\eta_{1}}(t)\cdot \overline{\phi_{\eta_{2}}(t)}$

[Brukvalub]

Можно, наоборот,сначала разложить разность квадратов, а затем искать хар. функцию произведения.

[--mS--]

Если бы мне предложили выбрать, искать ли произведение харфункций или харфункцию произведения, я бы не колебалась

[Purus_Idiota]

Попытка решения:

$$ \eta = \xi^2, \eta\in [0, \infty) \Rightarrow P \lbrace \eta < x \rbrace = P\lbrace \xi^2 < x \rbrace = P\lbrace|\xi| < \sqrt{x} \rbrace = F_{\xi}(\sqrt{x}) - F_{\xi}(-\sqrt{x})$$

$$ p_{\xi^2}(x) = p_{\xi}(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} - p_{\xi}(-\sqrt{x})\cdot\frac{-1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x}{2}}\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x}{2}}\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\frac{-x}{2}}}{\sqrt{2x\pi}}$$

$$ \int\limits_{0}^\infty\frac{e^{\frac{-x}{2}}}{\sqrt{2x\pi}}\cdot e^{itx} \ dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^\infty\frac{e^{\frac{x(2it -1)}{2}}}{\sqrt{x}} \ dx = \begin{vmatrix} \sqrt{x} = z \\ x = z^2 \\ dx = 2z \ dz \end{vmatrix} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int\limits_{0}^{\infty}e^{\frac{z^2(2it - 1)}{2}}dz $$

пришел к вот такому выражению:

$$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int\limits_{0}^{\infty}e^{\frac{z^2(2it - 1)}{2}}dz$$

и не знаю, что дальше с ним делать. Подскажите, пожалуйста.

[profrotter]

Возможно для решения задачи от вас не требуют полных вычислений в лоб. Например, может быть достаточно посмотреть какое распределение имеет квадрат гауссовой СВ, найти в таблице её ХФ.

[Purus_Idiota]

profrotter в сообщении #1212414 писал(а):

[...] найти в таблице её ХФ.

Похоже, что я совсем не в теме. Что это за таблица?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[--mS--]

Purus_Idiota в сообщении #1212409 писал(а):

и не знаю, что дальше с ним делать.

Ну теперь уже к интегралу Пуассона сводить.

[alisa-lebovski]

Вычислить интеграл, как будто $2it-1$ - это просто вещественное отрицательное число, а потом его подставить.