2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разрезанная замкнутая ломаная
Сообщение23.04.2017, 22:14 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Замкнутую ломаную разрезали по вершинам на отрезки. Затем в произвольном порядке соединили отрезки в цепочку. Всегда ли из этой цепочки можно получить замкнутую ломаную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезанная замкнутая ломаная
Сообщение23.04.2017, 23:57 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Да. Заменим отрезки в исходной ломаной векторами и подкрутим цепочку так, чтобы они были параллельно перенесены, и в каждую вершину входил и выходил ровно один. Теперь мы можем их сложить и получим ноль, как для первой.

Если же рассматриваются только простые ломаные…

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезанная замкнутая ломаная
Сообщение24.04.2017, 00:12 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
arseniiv в сообщении #1212131 писал(а):

Если же рассматриваются только простые ломаные…

Что такое простая ломаная? И что такое сложная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезанная замкнутая ломаная
Сообщение24.04.2017, 00:15 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Простая не имеет самопересечений, т. е. каждый конец каждого звена ломаной есть пересечение его не более чем с одним другим звеном.

-- Пн апр 24, 2017 02:16:19 --

И в других точках звенья не пересекаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезанная замкнутая ломаная
Сообщение27.04.2017, 12:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ktina в сообщении #1212103 писал(а):
Всегда ли из этой цепочки можно получить замкнутую ломаную?

Эквивалентный вопрос: всегда ли в замкнутой ломаной можно поменять местами любые два соседних звена?

Ответ: очевидно, всегда. Достаточно зеркально отразить соответствующий треугольник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезанная замкнутая ломаная
Сообщение27.04.2017, 14:12 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
ewert в сообщении #1212765 писал(а):
Достаточно зеркально отразить соответствующий треугольник.

Ну да, конечно. Но: могём потерять выпуклость (даже если она и была). А потом потерять и не самопересекаемость...
А давайте строить треугольник: за основание возьмем наибольшее звено, а остальные звенья сложим в два прямолинейных куска. Если тр-к не получился - будем перекладывать по одному звену из большего куска в меньший...
Но вот незадача: может случиться неприятность: разность "меньший кус минус больший "была равна $-a$, где $a$ - основание, и вдруг, при следующем перекладывании, она стала равной $a$. Ну что ж , значит, тр-к не получился. Но зато получился параллелограмм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезанная замкнутая ломаная
Сообщение27.04.2017, 17:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
DeBill в сообщении #1212787 писал(а):
могём потерять выпуклость (даже если она и была). А потом потерять и не самопересекаемость...

Об этом в условии ничего не было. И это -- отдельная задача: доказать, что ломаную с самопересечениями можно распутать. Ну так очень легко по индукции доказывается, что любую замкнутую ломаную можно развернуть в треугольник. Возможно, вырожденный.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group