2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 m^2+n^2-mn=40 и x^2+y^2-xy=72
Сообщение23.04.2017, 11:32 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
а) Доказать, что не существует таких целых чисел $m$ и $n$, что $$m^2+n^2-mn=40$$

б) Доказать, что не существует таких целых чисел $x$ и $y$, что $$x^2+y^2-xy=72$$

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2+n^2-mn=40 и x^2+y^2-xy=72
Сообщение23.04.2017, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Ktina в сообщении #1211821 писал(а):
а) Доказать, что не существует таких целых чисел $m$ и $n$, что $$m^2+n^2-mn=40$$
Оба числа чётные, поэтому можем разделить на 4. Потом то же, но на 4 не делится. Противоречие.
Ktina в сообщении #1211821 писал(а):
б) Доказать, что не существует таких целых чисел $x$ и $y$, что $$x^2+y^2-xy=72$$
Оба числа чётные, поэтому можем разделить на 4. Потом то же, но на 4 не делится. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2+n^2-mn=40 и x^2+y^2-xy=72
Сообщение23.04.2017, 15:16 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
grizzly
Большое спасибо!

Верно ли более общее утверждение, что если вместо 40 поставить любое число, которое делится на 5, но не делится на 25, решений тоже не будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2+n^2-mn=40 и x^2+y^2-xy=72
Сообщение23.04.2017, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Ktina в сообщении #1211901 писал(а):
Верно ли более общее утверждение, что если вместо 40 поставить любое число, которое делится на 5, но не делится на 25, решений тоже не будет?
Конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2+n^2-mn=40 и x^2+y^2-xy=72
Сообщение23.04.2017, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Пять не более общее, а той же частности, что и два.
А вот, например, три и семь из другой частности:
$2^2+4^2-2\cdot 4=12$ и $4^2+5^2-4\cdot 5=21$

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2+n^2-mn=40 и x^2+y^2-xy=72
Сообщение23.04.2017, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
gris в сообщении #1211912 писал(а):
Пять не более общее, а той же частности, что и два.
ТС обобщал по другому признаку (40 делится на 5, но не на 25).

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2+n^2-mn=40 и x^2+y^2-xy=72
Сообщение23.04.2017, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я обобщаю по тому же. $12$ делится на $3$, но не на $9$. $21$ делится на $7$, но не на $49$.
Я подумал, что обобщение состоит в том, что уравнение не имеет целочисленных решений, если правая часть делится на некоторое простое число, но не на его квадрат. :?: Ну да, ошибся, по-моему :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2+n^2-mn=40 и x^2+y^2-xy=72
Сообщение23.04.2017, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
gris
Да, да, я Вашу идею понял. По модулю некоторых простых можно в левой части получить 0, тогда соответствующее уравнение может иметь решение (если правая часть составлена из таких множителей). Например, для 3,7,13,19,31,37,43...
Тогда для $21=3\cdot 7$ будет решение. И для $39=3\cdot 13$ -- тоже.
Найдётся ли решение для любой правой части составленной из этих множителей?

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2+n^2-mn=40 и x^2+y^2-xy=72
Сообщение23.04.2017, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
grizzly, ага :-) Просто мне показалось, что доказательство для $5$ не будет столь простым, как для $2$, хотя будет вообще. А вот для $3$ и $7$ такой фокус не пройдёт. Наверное, в любимом ТС арифметическом мосте есть соответствующие теоремы. Но я их не знаю :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: m^2+n^2-mn=40 и x^2+y^2-xy=72
Сообщение23.04.2017, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Соответствующие теоремы есть.
И из них следует, что все простые делители алгебраического выражения
$\[a^2  - ab + b^2\]$
при взаимно простых $a,b$ могут быть только простые числа вида $\[P = 3n + 1\]$ в любой степени и $\[P = 3\]$ в первой степени.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group