2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:14 
Аватара пользователя


15/11/15
691
Москва
В чем заключаются основные отличия между координатным методом и методом комплексных чисел в решении задач элементарной геометрии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1298
Москва
Если я правильно понимаю вопрос, то комплексные числа затруднительно применить в стереометрических задачах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
А я понял это как вопрос: "В чём разница между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{C}$?", - ну понятно в чём, в последнем умножать можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:24 
Аватара пользователя


15/11/15
691
Москва
Имеется ввиду по эффективности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:27 
Заслуженный участник


10/01/16
1253
А в планиметрии - комплексные числа , наоборот, хорошИ . Хорошо работают при описании движений-гомотетий, а также и для инверсий....

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:36 


11/08/16
156
Кстати кто-нибудь знает задачу элементарной геометрии, которая очень красиво решается с привлечением комплексных чисел и весьма затруднительно решается координатными методами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:44 
Аватара пользователя


15/11/15
691
Москва
sa233091 в сообщении #1211384 писал(а):
Кстати кто-нибудь знает задачу элементарной геометрии, которая очень красиво решается с привлечением комплексных чисел и весьма затруднительно решается координатными методами?

И наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
sa233091 в сообщении #1211384 писал(а):
Кстати кто-нибудь знает задачу элементарной геометрии, которая очень красиво решается с привлечением комплексных чисел

Понарин целую книгу про это написАл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение22.04.2017, 13:57 
Аватара пользователя


15/11/15
691
Москва
Brukvalub в сообщении #1211410 писал(а):
Понарин
целую книгу про это написАл.

Видел, конечно, но я не нашел в этой книжке подробного сравнения этих методов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение22.04.2017, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19776
Уфа
Думаю, если в задаче будут использоваться аффинные преобразования, не являющиеся изометриями, комплексные числа помогут не очень — их придётся «разбирать на части», чтобы выразить нужное. Насчёт же других вещей можно провести параллель с кватернионами — произведение (чисто векторных) кватернионов $q_1\bar q_2$ исторически породило отдельные скалярное и векторное произведение трёхмерных векторов, являющиеся его компонентами. Произведение комплексных чисел $z_1\bar z_2$ тоже имеет компонентами скалярное и т. н. псевдоскалярное произведение (аналогичное векторному в трёхмерии) соответствующих векторов. Так что с помощью этих двух можно выразить комплексное умножение, когда оно нужно, если не хочется ассоциировать свои векторы с комплексными числами ($z_1\bar z_2 = z_1\cdot z_2 - i(z_1\times z_2)$, где $\times$ обозначает псевдоскалярное произведение, в координатах (в правом базисе) $(x,y)\times(x',y') = xy' - yx'$, $\cdot$ — скалярное и не обозначаемая операция — комплексное). В простых случаях значительной разницы не должно быть.

(Отступление)

Если подходить к делу совсем последовательно, можно пустить в ход всю алгебру Клиффорда $C\!\ell(V)$ (псевдо)евклидова пространства $V$ целиком, существующую для таких пространств любой размерности (однозначно задаётся квадратичной формой). Как комплексные числа, так и кватернионы традиционно соответствуют двум её разным подпространствам: «просто векторы» — исходному $V$, а «поворачивающие штуки», с которыми связано умножение — подалгебре элементов чётной степени $C\!\ell^0(V)$. Для двумерного и трёхмерного $V$ последняя изоморфна соответственно $\mathbb C,\mathbb H$ как алгебрам над $\mathbb R$. Сама $C\!\ell(V)$ имеет размерность $2^{\dim V}$, и на некоторых элементах можно определить элементарные функции типа экспоненты или логарифма, и последние удобны для манипуляции ортогональными преобразованиями, и не обязательно глубоко знать теорию этих алгебр, чтобы пользоваться всем этим для простой геометрии (как не обязательно знать, скажем, ТФКП, чтобы пользоваться комплексными числами для двумерных задач). Правда, литературу школьного уровня с необходимым минимумом посоветовать не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение22.04.2017, 17:47 
Заслуженный участник


27/06/08
3053
Волгоград
Маленький довесок к книжке Понарина (см. решение nnosipov'а).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group