Получить двойку из дробей, используя вычитание и не только

[Ktina]

Выберите из чисел

$$\dfrac{1}{2},\quad \dfrac{1}{3},\quad\dots ,\quad \dfrac{1}{9}$$

три различных числа. Использовав возведение в степень, один знак "-" и пару круглых скобок, составьте из них выражение, равное двум.

Казалось бы, можно вот так сделать:

$$\dfrac{1}{8}^{\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}\right)}=2$$

Но не тут кобыла не тут-то было.
Задача снабжена примечанием, согласно которому ответ считается правильным, если приведены все правильные варианты и нет ни одного неверного.
Я понимаю это так, что нужно все способы найти. Только вот как это сделать, без компа-то?

[Cash]

В основании нельзя получить число, большее $1$. Поэтому знак минус - в показателе. В основании степени имеем только три варианта. При этом для первых двух в показателе должно стоять $-1$ или $-\frac12$ соответственно. Что, очевидно, невозможно: $x-y>-y\geqslant -\frac12$

[gris]

А возведение в степень тоже один раз можно? А то

$${\dfrac14}^{-\left({\dfrac{1}{8}}^{\dfrac13}\right)}=2$$

[Cash]

gris, скобки лишние...
Хотя вот так
${\dfrac14}^{\left(-{\dfrac{1}{8}}\right)^{\dfrac13}}=2$
все в порядке

[Ktina]

gris в сообщении #1211230 писал(а):

А возведение в степень тоже один раз можно?

Там не оговорено, к сожалению. Теоретически, это даёт решающему право понимать по своему усмотрению...

[PETIKANTROP]

Ktina в сообщении #1211233 писал(а):

gris в сообщении #1211230 писал(а):

А возведение в степень тоже один раз можно?

Там не оговорено, к сожалению. Теоретически, это даёт решающему право понимать по своему усмотрению...

Если вольно интерпретировать использование всех знаков и количество возведений в степень, а также подойти чуточку нестандартно, то можно получить еще 12 выражений:

$1^{N}/4^{-1/2}$
N=$1/3$, $1/5$, $ 1/6$, $1/7$, $1/8$, $1/9$

$1^{N}/8^{-1/3}$
N=$1/2$, $1/4$, $ 1/5$, $1/6$, $1/7$, $1/9$