2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 14:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4416
kalin в сообщении #1212941 писал(а):
Стремятся аппроксимировать на всей области значений.
Ну а Вы стремитесь работать только в области от 2 до бесконечности. Хотя заявляете, что от 1. При $a=1$ у Вас там деление на 0 ($b$ считаем равным 1), а для промежутка от 1 до 2 Вы не рассматриваете ни одного значения. Не могли бы Вы привести графики сравнения на промежутке $a\in (1;2)$? (А то мне самому больше лень, чем любопытно :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 14:33 
Аватара пользователя


26/09/16
61
Снегири
kalin в сообщении #1212941 писал(а):
Упростим все до чисел. Я приводил числовой пример: при a=167 и b=1.2


Всё-таки задача для случая $a = 167, b = 1.2$ отличается от задачи $a = 100, b = 1$ (равно как та - от задачи $a = 1000, b = 1$) менее чем на одну десятитысячную. А вот что будет при малых соотношениях - вопрос хороший (тем более, что задаю его не только я).

Потому что при больших отношениях мы переходим от задачи "аппроксимируем периметр эллипса" к задаче "как можно сильнее приблизить $\pi$ к $4a$". У которой есть куда более простое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 14:36 
Заслуженный участник


04/03/09
802
grizzly в сообщении #1212942 писал(а):
Не могли бы Вы привести графики сравнения на промежутке $a\in (1;2)$? (А то мне самому больше лень, чем любопытно

Графики, приведенные tolstopuz'ом на предыдущей странице, говорят о том, что в этом диапазоне все формулы настолько точные, что там уже машинная точность сильно влияет. И непонятно, как адекватно оценивать ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 14:58 
Аватара пользователя


29/01/17

228
Странный вопрос. В этой зоне все формулы практически одинаково себя ведут. Погрешности практически нулевые. Выполнил расчеты периметра L по всем четырем формулам при a=1.5 и b=1
Они с большой точностью совпали. Потому что Формула Рамануджана очень точна вблизи (1,1):

Изображение

Существенные расхождения начинаются при a/b>7

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1414
Москва
kalin в сообщении #1212941 писал(а):
Другие формулы что покажут?
Для таких данных: формула имени g______d: $P = 4a$. Отыгрывает почти половину точности у 2й формулы Рамануджана, и при этом гораздо проще.

Никто не решает задачу "найти формулу поточнее для данного входа" (подумайте, откуда берется "точное значение", с которым вы сравниваетесь? вот примерно оттуда же его возьмет любой человек, которому понадобится конкретная длина). Максимум - решают задачу "найти формулу поточнее в данной области". И тут можно рассматривать разные области.

kalin в сообщении #1212916 писал(а):
Зачем мудрить с какими-то эксцентриситетами? Гляжу на ваши графики и ничего понять невозможно.
Упражнение: выразить $\frac{a}{b}$ через эксцентриситет, и наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 15:14 
Аватара пользователя


29/01/17

228
mihaild в сообщении #1212952 писал(а):
Максимум - решают задачу "найти формулу поточнее в данной области".

Все верно. Я говорю об области $1\le \frac ab <\infty $

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1414
Москва
kalin в сообщении #1212954 писал(а):
Я говорю об области $1\le \frac ab <\infty $
К этой области тривиально сводится всё. А графики вы эффективно строите (так, что можно что-то разобрать) для $ab > c \approx 5$. Посмотрите на графики tolstopuz, что происходит в окрестности единицы.

На бесконечности, конечно, формулы получающиеся из степенного ряда смотреть бессмысленно - длина в первом порядке линейна, а степенной ряд более чем из двух членов - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 15:35 
Заслуженный участник


31/12/05
1043
kalin в сообщении #1212941 писал(а):
Я приводил числовой пример: при a=167 и b=1.2 будем иметь значения периметра эллипса L:
Возьмем $a=100,b=55$:
точное значение $497.2629400442381$
Бессель $9$-го порядка $497.26294004423721$
Абед $497.26294003334272$
new $497.26293998979611$
Рамануджан $497.26293998954867$

То есть $9$-й порядок Бесселя дает $14$ верных знаков, Абед - $10$, Рамануджан и ваш метод - $9$. Зато при $a\gg b$ ваш метод не имеет равных. Что важнее - зависит от задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
При $ a \gg b$ вполне разумно построить ряд по степеням $b/a$ который, в отличие от уродца, предлагаемого ТС будет гораздо проще и при наличии достаточного числа знаков будет давать десятки верных знаков

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 16:06 
Аватара пользователя


26/09/16
61
Снегири
kalin в сообщении #1212950 писал(а):
Выполнил расчеты периметра L по всем четырем формулам при a=1.5 и b=1
Они с большой точностью совпали


Перерисуйте в двойном логарифмическом, пожалуйста. Для удобства можете по оси Ox отложить эксцентриситет или, если так интереснее, $a/b-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1414
Москва
Red_Herring в сообщении #1212969 писал(а):
При $ a \gg b$ вполне разумно построить ряд по степеням $b/a$
Это же будет разложение $E$ по степеням $e$ в окрестности $1$? У него там разве нет точки ветвления?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 16:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
mihaild в сообщении #1212971 писал(а):
Это же будет разложение $E$ по степеням $e$ в окрестности $1$? У него там разве нет точки ветвления?

Нет, по степеням $b/a$, при $0<b\ll a$, что не совсем то же самое, что $1-e\approx b^2/2a^2$. Просто надо с интегралом поаккуратнее в этой точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 18:22 
Аватара пользователя


29/01/17

228
Red_Herring в сообщении #1212969 писал(а):
в отличие от уродца, предлагаемого ТС

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
yeah, right,
Цитата:
beauty is in the eye of the beholder

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 23:55 


25/08/11

1074
Ну и что прощается здесь одним, совсем иначе для других, к чему здесь уже все привыкли, впрочем.

 !  Lia: post1213078.html#p1213078

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 74 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group