2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение27.04.2017, 23:36 
Аватара пользователя


29/01/17

228
tolstopuz, мне режет ухо слово "может", "будет" и т.д. Хочу просто видеть формулу и сравнить ее с известными. Самую точную в итоге выбрать. Это моя цель на данном этапе. Приведите именно формулу, я проанализирую и скажу вам спасибо, если она окажется самой точной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение27.04.2017, 23:42 
Заслуженный участник


31/12/05
1040
Картинку по ссылке открывали?

-- Чт апр 27, 2017 23:48:04 --

По поводу Айвори-Бесселя - зайдите в Википедию: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0 ... 1.80.D0.B0

Возьмите первые шесть членов приведенного там ряда. Если хотите точность выше, возьмите больше. Я надеюсь, что вы понимаете математические обозначения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 00:06 
Аватара пользователя


29/01/17

228
tolstopuz, еще раз: формула Бесселя относится к разряду точных формул. Она сходится к спецфункции E. В этой теме особо подчеркнул, что такие вещи не рассматриваю. Рассматриваю аппроксимации, похожие на те, что выше дали в ссылке "первый миллион формул".

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1263
Москва
kalin, чем "первые $n$ членов ряда" не аппроксимация?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 00:32 
Аватара пользователя


29/01/17

228
mihaild, а что же тогда до сих пор ищут приближенные формулы?
Здесь же говорили:
sergei1961 в сообщении #1211289 писал(а):
...это очень интересная задача с богатой историей, ею занимались десятки классиков и очень много разных людей, результаты получаются до сих пор.


Конкретизирую свою задачу: ищу самые лучшие приближенные формулы, за исключением ряда Бесселя и спецфункции Е. Даже не знаю, сколько раз можно это повторять.
До недавнего времени лучшей моей находкой была формула Кантрелла, опубликованная в 2005 году. Недавно обнаружил еще более точную, показанную в первом посте. Если у вас есть информация о других подобных эффективных формулах, то буду только рад. Важно, чтобы хорошая точность соблюдалась на как можно большем интервале a/b.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 00:39 


20/08/14
2807
Россия, Москва
tolstopuz в сообщении #1212873 писал(а):
Вы таки будете смеяться,
Ну, там это хотя бы берётся из желания малых целых коэффициентов, можно понять, но тут, когда использованы коэффициенты с тремя знаками после запятой ... Нельзя. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 00:49 
Заслуженный участник


31/12/05
1040
kalin в сообщении #1212884 писал(а):
Конкретизирую свою задачу: ищу самые лучшие приближенные формулы, за исключением ряда Бесселя и спецфункции Е.
Вы открывали картинку по моей ссылке с формулой Хассана Абеда?

http://paulbourke.net/geometry/ellipsec ... nAbed1.gif

-- Пт апр 28, 2017 00:55:02 --

Dmitriy40 в сообщении #1212886 писал(а):
tolstopuz в сообщении #1212873 писал(а):
Вы таки будете смеяться,
Ну, там это хотя бы берётся из желания малых целых коэффициентов, можно понять, но тут, когда использованы коэффициенты с тремя знаками после запятой ... Нельзя. :-)
Это делается из одного желания - подогнать под правильный ответ для вырожденного эллипса. Способы подгонки, таки да, расходятся у Кантрелла и ТС, но значение $7\pi/22$ при такой подгонке присутствовать обязано.

Но решение забраковать частичные суммы ряда Бесселя уже лишено всякой логики, ведь формула Рамануджана тоже раскладывается в такой же ряд по степеням $(a-b)^2/(a+b)^2$, просто коэффициенты начиная с пятой степени другие. От нее, видимо, тоже придется отказаться :)

Плохо не знать матан на уровне хотя бы первого курса - знания подменяются вкусовщиной и предрассудками :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 02:03 
Аватара пользователя


29/01/17

228
tolstopuz, вот это другое дело! Смотрим и сравниваем (принял b=1):

Изображение

Мне пояснять или все понятно?
И еще одно интересное: принял 60 членов формулы Бесселя и все равно новая формула на оси, а Бессель заметно выше.

Изображение

Так что не зря такой знаменатель у новой формулы.
Вообще-то я проверил свыше 30 самых разных приближенных выражений, и везде аналогичная картина. Подобное встречаю впервые. Поэтому и поместил новую ф-лу в теме о красоте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 03:50 
Заслуженный участник


31/12/05
1040
Принято строить зависимость ошибки не от $a/b$, а от эксцентриситета $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$. Плюс еще относительную ошибку неплохо бы рисовать в логарифмическом масштабе. И вот смотрите:
Изображение
Изображение

Из этих графиков очевидно, что можно взять Абеда (или Бесселя, но он скучнее), заново применить к нему вашу подгонку невязок и получить еще более точную формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 07:46 
Аватара пользователя


29/01/17

228
Но новая структура тем и хороша, что точней и не нужно: слишком она рекордна по-сравнению со всеми другими при относительно малом количестве независимых параметров. Мне другое интересно - есть ли принципиально иные формулы, которые дают бOльшую точность, чем new?
Что касается зависимости от эксцентриситета, то это относится только к эллипсу. Я подходил к данной задаче, как к общей задаче аппроксимации. Мне так удобней и наглядней. Графики, что Вы привели, не дают такой четкости в различиях, как мои графики.
Было с самого начала ясно, что формула Абеда окажется хуже новой. Она тоже основана на шлифовке формулы Рамануджана. Но добавление минимального количества целочисленных параметров не позволяет существенно приблизиться к сложнейшей функции L. Так оно и вышло после моего анализа: Рамануджан в четыре раза улучшился, а до new - пахать и пахать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 09:51 
Заслуженный участник


31/12/05
1040
kalin в сообщении #1212898 писал(а):
Что касается зависимости от эксцентриситета, то это относится только к эллипсу. Я подходил к данной задаче, как к общей задаче аппроксимации. Мне так удобней и наглядней. Графики, что Вы привели, не дают такой четкости в различиях, как мои графики.
Извините, но все наоборот. Неудачным выбором $a/b$ как оси абсцисс вы размазали крохотный диапазон эксцентриситетов почти вырожденных эллипсов ($e>0{,}98$) на бесконечный полуинтервал, спрятав все остальные значения эксцентриситетов в маленький отрезочек рядом с нулем. Естественно, таким искусственным выбором оси вы выпятили маленький кусочек, где ваша формула лучше, до космических масштабов, называя это "четкостью в различиях".

За постоянным самовосхвалением вы не видите сути задачи. Как я уже говорил, это всего-навсего недостаток базового математического образования.

Если вы не понимаете, что такое эксцентриситет эллипса, отложите по оси абсцисс, например, $b$, положив $a=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 10:21 
Аватара пользователя


29/01/17

228
tolstopuz, послушайте. Все формулы имеют относительный аргумент a/b и на выходе - интересующий нас приближенный периметр L. Есть также точное значение периметра Lo. Нахожу приближенные значения L и тупо сравниваю с Lo. Зачем мудрить с какими-то эксцентриситетами? Гляжу на ваши графики и ничего понять невозможно. В моих же графиках ничего не смазывается, а все предельно четко.

Далее: у меня b всегда меньше a. В первом посте это четко оговорено. Рассматриваю только a/b>=1.
Короче, ваши рассуждения о базовых ценностях меня совершенно не волнуют. Рассматриваю их как забалтывание темы. Мне нужны только новые хорошие приближенные формулы. Одну дали - она намного грубей, чем new.


Решил "поиграть" количествами членов ряда Бесселя: 10, 15, 20, 30, 40. Очень неважная сходимость! А громадные коэффициенты какие!

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 12:44 
Аватара пользователя


26/09/16
43
Снегири
kalin в сообщении #1212916 писал(а):
Далее: у меня b всегда меньше a. В первом посте это четко оговорено. Рассматриваю только a/b>=1.


Замечу, что при $a > 100b$ эллипс уже близок к прямой, и если это отношение ещё увеличивать, ничего интересного на графике мы не увидим. Думаю, достаточно построить график от единицы до, допустим, трёх.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 12:49 
Заслуженный участник


31/12/05
1040
kalin в сообщении #1212916 писал(а):
Все формулы имеют относительный аргумент a/b
А почему не $b/a$ в пределах от $0$ до $1$, например? Чтобы ваша формула выгоднее смотрелась?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одна длина эллипса от kalin
Сообщение28.04.2017, 14:01 
Аватара пользователя


29/01/17

228
Эту задачу многие рассматривают, как чисто математическую. Стремятся аппроксимировать на всей области значений. Важно не для самого эллипса, а для совершенствования методов аппроксимации.
Теперь что касается соотношений между a и b. В первом посту четко сказано: a - большая полуось, b - малая полуось. Следовательно формула автоматически не рассчитана для отношений a/b<1. Если же получилось именно так, то просто поменяйте обозначения.

Теперь отвлечемся от графиков, которые почему-то вызвали споры. Упростим все до чисел. Я приводил числовой пример: при a=167 и b=1.2 будем иметь значения периметра эллипса L:
668.1004538 точное
667.9180140 Рамануджан-2
668.1004048 New

Другие формулы что покажут? Тут уж конкретная задача, для которой никакой эксцентриситет не нужен. Но именно эту задачу решают все методички и онлайн калькуляторы. Итак, жду.
Можете другие исходные данные взять. Это все равно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 74 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group