2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 равенство с постоянной Апери
Сообщение21.04.2017, 03:13 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Докажите, что
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} \sum_{j=k}^{\infty} \frac{1}{j\cdot 2^j} = \frac{13}{24}\zeta(3),$$
где $\zeta(3)$ -- постоянная Апери.

(источник)

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство с постоянной Апери
Сообщение21.04.2017, 08:12 


25/08/11

1074
Подскажите, чтобы полениться-второй ряд считается явно из прогрессии, потом однократный ряд сразу не сводится к определению или эквивалентным известным формулам?

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство с постоянной Апери
Сообщение21.04.2017, 15:20 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
sergei1961 в сообщении #1211212 писал(а):
Подскажите, чтобы полениться-второй ряд считается явно из прогрессии, потом однократный ряд сразу не сводится к определению или эквивалентным известным формулам?

Смотря что вы называете "известными формулами". Буду рад увидеть любое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство с постоянной Апери
Сообщение21.04.2017, 16:06 


25/08/11

1074
Сложнее чем я ожидал. Внутренний ряд равен интегралу
$$
\int_0^{1/2} \frac{t^{k-1}}{1-t}d\,t,
$$
ну назовём его по имени неполной бета-функцией, что дальше делать - непонятно. Попробовать внешнее суммирование теперь под интеграл?
Получается что-то вроде такого:
$$
\int_0^{1/2}\frac{Li_2(-t)}{-t(1-t)}d\,t.
$$
Я не знаток вопросов связанных с постоянной Апери. Есть для неё такое интегральное представление через полилогарифмы?

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство с постоянной Апери
Сообщение21.04.2017, 17:01 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
sergei1961 в сообщении #1211312 писал(а):
Я не знаток вопросов связанных с постоянной Апери. Есть для неё такое интегральное представление через полилогарифмы?

Посмотрите, например, Sums of generalized harmonic series for kids from five to fifteen.

 Профиль  
                  
 
 Re: равенство с постоянной Апери
Сообщение21.04.2017, 17:42 


25/08/11

1074
Спасибо, интересная ссылка. Школа А.К.Циха, наверное. Формулы с полилогарифмом похожи на формулы из статьи, но не те. Предел верхний зачем-то 1/2 а не 1. Нет ошибки в расчёте? А нужная формула известная, доказана?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group