2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение18.04.2017, 23:58 


11/08/16
153
Недавно столкнулся с задачей:
Есть остров (точка), на нем расположен прожектор, дальность освещения которого - 1 метр, но он светит не во все стороны а только в одном направлении. Прожектор крутится с постоянной угловой скоростью $\[\omega \]$.
Какова должна быть минимальная скорость корабля, чтобы он смог приплыть к острову незамеченным (не пересекаться с лучом прожектора) Корабль двигается равномерно.
Опишем полярные координаты корабля в параметрическом виде (считаем, корабль начинает движение из точки $\[A(1,0^\circ )\]$ против часовой стрелки и начальный угол между кораблем и прожектором - $\[\alpha \]$ ):
$\[\begin{gathered}
  r = r(t) \hfill \\
  \varphi  = \varphi (t) \hfill \\ 
\end{gathered} \]$
Пусть скорость корабля - $\[V\]$
Тогда имеем:
$\[{V^2} = {r'^2} + r{\varphi '^2}\]$
Отсюда выражаем
$\[\varphi ' = \sqrt {\frac{{{V^2} - {{r'}_{^{}}}^2}}{r}} \]$
Условие того, чтобы корабль не встретился с прожектором:
$\[\varphi (t) \geqslant vt - a\]$
Таким образом задача формулируется так:
Найти минимальное значение $\[V\]$ такое, что найдется пара функций
$\[r(t)\]$, $\[\varphi (t)\]$ таких, что
$\[r(0) = 1\]$,
$\[\varphi (0) = 0\]$,
$\[\exists {t_0} > 0:r({t_0}) = 0\]$,
$\[t \in (0,{t_0}) \Rightarrow r(t) > 0 \wedge \varphi (t) > 0\]$,
$\[{V^2} = {r'^2} + r{\varphi '^2}\]$
Что делать дальше и вообще является ли мой подход к решению задачи правильным я не знаю.
Большими знаниями в дифференциальных уравнениях я не располагаю (кроме достаточно простых), и в вариационном исчислении кроме формулы Эйлера я также ничего не знаю, поэтому прошу помочь с решением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 06:37 


08/05/08
381
Если бы было 2 противоположно направленных луча прожектора, то задача была бы полностью эквивалентна вот этой
Я к чему: возможно весь это матан тут не нужен
В вашем случае:
Очевидно, что внутри вашего круга есть круг определенного радиуса, зависящего от скорости корабля, попав в который, корабль уже приходит незамеченным. Вроде как понятно, что двигаться внутрь этого круга надо по прямой (но наверняка не по тупо прямой в центр). И что-то мне подсказывает(не уверен), что двигаться внуть этого круга надо по касательной к его границе. Осталось найти и все посчитать. но сомневаюсь, что будет решение нечисленное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 09:56 


11/08/16
153
А почему именно по касательно? Как это доказать без вариационного исчисления?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 10:32 


08/05/08
381
Вот прямо "доказать" не смогу, даже сам до конца не уверен. Тем более времени нет на написание формул с работы, но попробую показать на пальцах...
Рассмотрим момент прихода в этот спасительный круг. Замечу, что граница круга - это там, где линейная скорость луча совпадает со скоростью корабля. Если мы входим в круг под углом, отличным от нулевого, то луч в том месте нас обгоняет и, следовательно, срезав по более пологой траектории мы можем выиграть больше...
Как-то так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 11:50 


11/08/16
153
А как установить, что мы входим в спасительный круг по прямой траектории?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 12:06 


08/05/08
381
Если не по прямой, то срезаем
При этом, так, как мы вне этого спасительного круга, то это значит, что линейная скорость луча прожектора выше нашей. А это значит, что попытка отклоняться от прямой нам невыгодна, потому что угол между нами и прожектором все равно сокращается

-- Ср апр 19, 2017 15:21:55 --

Оки, скажу по- другому
Если луч вне спасительного круга нас уже догнал, то мы уже ничего не сможем сделать
А вот если не догнал. то любой участок мы можем (и нам выгодно) спрямить

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 13:43 
Заслуженный участник


10/01/16
1211
ET в сообщении #1210724 писал(а):
Если луч вне спасительного круга нас уже догнал, то мы уже ничего не сможем сделать
А вот если не догнал.

но догнал на границе круга безопасности, то, запуская кино назад с момента догоняния, и двигаясь по прямой, будем иметь угловую скорость меньше угловой скорости прожектора, так что прожектор не догоним. Значить, и правда по прямой было двигаться безопасно, и выгоднее.
sa233091 в сообщении #1210709 писал(а):
А почему именно по касательно?

Ну, пусть не по ей. Как токо добегли до круга безопасности, повернем, и будем шпарить по евоной границе, пока не придем в точку касания. Но, как было сказано ране, в ту же точку моно было прибыть и не извращаясь - по прямой.
Мораль: по касательной - ничуть не хужее всего иного.
Но увы нам и ах - полученное уравнение (типа $\varphi + 2\pi =\tg \varphi , \cos \varphi = \frac{V}{\omega}$) решить моно токо численно..

-- 19.04.2017, 15:52 --

ET в сообщении #1210698 писал(а):
Если бы было 2 противоположно направленных луча прожектора, то задача была бы полностью эквивалентна

Да вроде, и так эквивалентна, нет? Ой, нет, да , не эквивалентны...

(Оффтоп)

Про ссылку: Помнится, в детстве, читал брошюрку "Заочные математические олимпиады" - были там катер шпионский, и охраняемый остров. Потом - много лет попозжа - был хулиган Петька в круглом бассейне, и сердитая учительница.... А теперь - блондинка и редискоган ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 13:59 
Заслуженный участник


14/01/11
1041
DeBill в сообщении #1210739 писал(а):
Ну, пусть не по ей. Как токо добегли до круга безопасности, повернем, и будем шпарить по евоной границе, пока не придем в точку касания.

Эмм, разве эти же рассуждения нельзя применить к любой другой точке спасительной окружности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 14:05 
Заслуженный участник


10/01/16
1211
Sender
Можно. Единственно - точки на окружности - не равноправны, есть на них порядок, определяемый направлением вращения луча. Так что: можно заменить меньшую на большую (до точки касания).

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 14:52 


01/12/11
969
Корабль находится на внешней окружности луча. Наименьшее расстояние до берега - по радиусу. Максимальное время движения корабля - время полного оборота прожектора. Похоже, что скорость корабля при движению по радиусу минимальна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 14:58 
Заслуженный участник


23/07/08
6503
Харьков
Можно заменить задачку на такую: изначально лодка находится на острове, и надо совершить побег — отплыть как можно дальше. В центре острова крутится с угловой скоростью $\omega$ лазерная пушка, и надо не попасть под луч. Пусть $(r(t), \varphi(t))$ — полярные координаты лодки, $\varphi_0(t)$ — угол луча. Скорость лодки $v$.

Обозначим $a=\frac v \omega$, тогда в круге $r<a$ можно легко уходить от луча как угодно долго. Но рано или поздно (в момент $t=0$) придётся выйти за пределы круга. Начальной точкой «выхода» пусть будет $r=a, \varphi=0$. Лучше всего выходить в опасную зону, когда луч рядом и удаляется, то есть $\varphi_0(0)=0$ (плюс эпсилон). Но ещё лучше считать, что $\varphi_0(0)=-2\pi$, так как удобно, если $\varphi\geqslant\varphi_0$ до самого конца.

Вот мы находимся где-то $(r, \varphi)$. Двигаться из этой точки можно в разных направлениях. Сместимся в точку $(r+dr, \varphi+d\varphi)$. Оптимальным будет такое направление движения, которое максимизирует величину $\frac{d(\varphi-\varphi_0)}{dr}$. Пусть $\gamma$ — угол между радиусом, проходящим через лодку, и направлением движения. Тогда
$$\frac{d(\varphi-\varphi_0)}{dr}=\frac{\dot\varphi-\omega}{\dot r}=\frac{\frac v r\sin\gamma-\omega}{v\cos\gamma}$$
Эта штука как функция $\gamma$ при фиксированном $r$ имеет экстремум, когда $\sin\gamma=\frac a r$. Это уравнение оптимального движения. Оно легко решается геометрически, и траектория оптимального движения оказывается очень простой (но нет, не радиус).

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 15:06 
Заслуженный участник


14/01/11
1041
DeBill в сообщении #1210748 писал(а):
Так что: можно заменить меньшую на большую (до точки касания).

Но ведь луч может совершить и более одного оборота за время движения.

-- Ср апр 19, 2017 15:12:39 --

Кстати, оптимальной траекторией внутри безопасной окружности (если минимизировать время до центра) будет полуокружность вдвое меньшего радиуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 16:25 


11/08/16
153
Оптимальным будет такое направление движения, которое максимизирует величину ...
А почему? Можете строго пояснить?

-- 19.04.2017, 16:29 --

[quote="ET в [url=http://dxdy.ru/post1210724.html#p1210724]
Оки, скажу по- другому
Если луч вне спасительного круга нас уже догнал, то мы уже ничего не сможем сделать
А вот если не догнал. то любой участок мы можем (и нам выгодно) спрямить[/quote]
А не случится ли так, что если срезать путь по кривой, то мы встретимся с прожектором до прибытия в спасательный круг?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 16:54 
Заслуженный участник


23/07/08
6503
Харьков
sa233091 в сообщении #1210786 писал(а):
А почему? Можете строго пояснить?
Представьте, что у Вас есть две лодки, обе хотят бежать с острова. По времени оба побега никак не связаны, они могут происходить даже в разные дни. Возьмём некоторую окружность $r=\operatorname{const}>a$ (то есть в «опасной» области).

Пусть для первой лодки, когда она пересекла эту окружность, величина $\varphi-\varphi_0$ (т.е. «опережение лодкой луча по углу») составляла $\Delta\varphi_1$, а для второй лодки $\Delta\varphi_2$, причём $\Delta\varphi_1<\Delta\varphi_2$.

Докажите (или скажите, что это очевидно), что, как бы ни плыла первая лодка после пересечения окружности, вторая при «правильной игре» гарантированно сможет удалиться от острова на большее расстояние, чем первая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корабль, убегающий от прожектора
Сообщение19.04.2017, 16:58 


05/09/16
1051
svv
То есть, из соображений симметрии, что пробраться на остров, что убежать с него -- минимальная скорость одна и та же? А следовательно -- и траектория (в опасном кольце, ессно)? Или траектория на остров и с острова различна все-таки?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group