2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5028
dsge в сообщении #1210444 писал(а):
ИМХО.
По каким-то причинам в математическом сообществе замалчивается рецензия Арнольда с характерным названием "Математика с человеческим лицом" на "Алгебру" Шафаревича. Правда, почти 30-летней давности, но это все же Арнольд и Шафаревич. Категории и функторы там тоже упомянуются, причем в положительном тоне (но в скобкам, наряду с другими важными вещами).
Прямая ссылка на скачивание журнала. Рецензия на с. 117-119.

Предлагаю обсудить саму эту рецензию (и, что интереснее, затронутые в ней вопросы) здесь, а не в исходной теме, т.к. к теории категорий она имеет слабое отношение.

Арнольд поднимает вечные темы: все ли йогурты системы аксиом одинаково полезны, чем немногие изученные математиками системы аксиом выделены среди бесконечного числа всех возможных и так далее. Он явно стоит на позициях "математика должна быть приложима", а к играм в бисер и башням из слоновой кости относится неодобрительно. Временами он слишком категоричен.

А. Арнольд писал(а):
Алгебраисты обычно определяют группы как множества с операциями, удовлетворяющими длинному списку труднозапоминаемых аксиом.
Аксиом, сколько мне помнится, всего три, и нет никаких проблем запомнить такие естественные, с целых чисел перенесенные вещи, как ассоциативность, существование нуля и противоположных элементов (в аддитивных обозначениях).
А. Арнольд писал(а):
Я думаю, что алгебраисты ставят такие препятствия на пути изучающих их науку для того, чтобы затруднить проникновение в нее непосвященным (быть может, неосознанно).
О, теория заговора!
В общем, кажется, в этом абзаце великого человека немного занесло...

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
Да, я вот кстати его постоянную методическую рекомендацию, которая, грубо, звучит как "вместо группы $G$ рассматривать $G$-множества" не понимаю. Очевидно, что $\mathbb{Z}$ удобнее мыслить саму по себе, а не как группу действующую сдвигами на чём-нибудь (на самом $\mathbb{Z}$?).

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12919
Москва
Во-первых, Арнольд был еще тот боец, и в полемическом задоре и не такие вещи писАл.
Во-вторых, он рассмотрел простейшую, понятную даже первокуру, "модель", но, как я думаю, подразумевал при этом критику куда более сложных алгебраических понятий, которые действительно трудно понять, если они вводятся без мотивировки, а чисто аксиоматически. Ну, вот и выплеснул с водой немножко ребенка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5028
kp9r4d в сообщении #1210477 писал(а):
Да, я вот кстати его постоянную методическую рекомендацию, которая, грубо, звучит как "вместо группы $G$ рассматривать $G$-множества" не понимаю. Очевидно, что $\mathbb{Z}$ удобнее мыслить саму по себе, а не как группу действующую сдвигами на чём-нибудь (на самом $\mathbb{Z}$?).
Кажется, он имеет в виду что-то похожее вот на что. У $\mathbb Z$ много свойств, которых нет у произвольной группы. Это абелева группа, циклическая группа бесконечного порядка и так далее, не говоря о том, что на $\mathbb Z$ есть умножение, линейный порядок и прочее. То есть, чтобы нечаянно не создать у вчерашнего школьника вредных иллюзий, ему нужно дать много разных примеров групп, обязательно включая неабелевы, нециклические и так далее.

И вот здесь группы преобразований очень удобная вещь, потому что любые биективные отображения множества в себя вместе со своими обратными и тождественным отображением образуют группу. Здесь как раз видно разнообразие, отсутствие ограничений, естественным образом появляется и некоммутативность (логарифм от корня - не то же, что корень от логарифма). А с другой стороны, (поправьте меня кто-нибудь, если я ошибаюсь), все те группы, с которыми приходится работать в приложениях математики, скажем, к физике - это и есть группы преобразований. Так для чего же, вопрошает Арнольд, нам нужно абстрагировать группу в отдельное понятие, если все равно мы будем говорить о группе преобразований?

Этот аргумент, разумеется, неприложим к внутриалгебраическим исследованиям. Как раз выясняя вопросы типа классификации групп, удобно мыслить группы сами по себе, не таская за собой память о том, что они еще и каких-то там преобразований.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
Anton_Peplov в сообщении #1210483 писал(а):
все те группы, с которыми приходится работать в приложениях математики, скажем, к физике - это и есть группы преобразований.

Я думаю он имеет в виду тот тривиальный факт, что любая группа действует сама на себя левым регулярным представлением (каждому элементу сопоставляется преобразование "умножить на этот элемент слева"), а потому является, в каком-то смысле, группой преобразований некоторого множества (самой себя).

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 19:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12919
Москва
Есть и более глубокие причины того, почему Арнольд так писАл.
1. Содержательные результаты о группах обычно начинаются с рассмотрения именно действия группы на множестве.
2. Реально работа с группами и их изучение в большой степени происходит путем их представлений, например, в группе гомоморфизмов линейного пространства, но и не только.
Так что, как ни крути, а, по Гамбургскому счету, Арнольд прав.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4482
Brukvalub в сообщении #1210487 писал(а):
2. Реально работа с группами и их изучение в большой степени происходит путем их представлений, например, в группе гомоморфизмов линейного пространства, но и не только.


Про классификацию конечных простых групп (один из центральных результатов математики, доказательство которого занимает несколько тысяч страниц) как раз говорят, что теория представлений там помогает далеко не везде, и некоторые считают это одной из главных причин, по которым доказательство очень длинное.

-- Вт, 18 апр 2017 09:26:48 --

Anton_Peplov в сообщении #1210483 писал(а):
Так для чего же, вопрошает Арнольд, нам нужно абстрагировать группу в отдельное понятие, если все равно мы будем говорить о группе преобразований?


Это просто особенность человеческого мышления. Абстрактная группа -- это то общее, что имеют между собой разные группы преобразований разных объектов. Если мы что-то хотим доказать даже про конкретную группу преобразований, полезно отдавать себе отчёт, важно ли для доказательства то, на чём именно она действует как группа преобразований.

Если какая-то часть задачи заведомо не важна для решения, от неё нужно избавиться как можно скорее.

С категориями, кстати, ситуация ровно та же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5028
g______d в сообщении #1210488 писал(а):
Абстрактная группа -- это то общее, что имеют между собой разные группы преобразований разных объектов. Если мы что-то хотим доказать даже про конкретную группу преобразований, полезно отдавать себе отчёт, важно ли для доказательства то, на чём именно она действует как группа преобразований.

Если какая-то часть задачи заведомо не важна для решения, от неё нужно избавиться как можно скорее.
Я мыслю ровно так же и, наверное, именно поэтому моему глазу так приятны аксиоматические конструкции.
Но вот Арнольд мыслил иначе, и я искренне попытался понять, как именно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2463
Я понимаю Арнольда здесь.
Аксиомы группы непонятны, если их не мотивировать и не объяснять, почему они именно такие.
Непонятно, например, почему ассоциативность требуется, а коммутативность нет.
Чем так выделяются множества с операцией, удовлетворяющие именно этим трём аксиомам, среди множеств с операцией, удовлетворяющих, может быть, каким-то другим условиям, возможно не менее естественным.
Я уверен, что вот это надо объяснять. А то у студентов возникает неприятное чувство, может быть даже неосознанное: типа, надо же было математикам что-то изучать, вот они и взяли с потолка эти три аксиомы.
Понятно, что необходимое пояснение частично дают примеры групп, но только частично.
Идеальное (во всяком случае для меня) пояснение - это именно толкование групп как групп преобразований, тем более что любая группа является группой преобразований.

Вместе с тем, моему глазу тоже "приятны аксиоматические конструкции".
Поэтому я за то, чтобы вводить понятие группы аксиоматически, стандартным образом.
Но обязательно при этом рассказав о данном толковании.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5028
Mikhail_K в сообщении #1210493 писал(а):
Я понимаю Арнольда здесь.
Аксиомы группы непонятны, если их не мотивировать и не объяснять, почему они именно такие.
Непонятно, например, почему ассоциативность требуется, а коммутативность нет.
Чем так выделяются множества с операцией, удовлетворяющие именно этим трём аксиомам, среди множеств с операцией, удовлетворяющих, может быть, каким-то другим условиям, возможно не менее естественным.
Я уверен, что вот это надо объяснять. А то у студентов возникает неприятное чувство, может быть даже неосознанное: типа, надо же было математикам что-то изучать, вот они и взяли с потолка эти три аксиомы.
Всегда смотрел на это так. Взяли мы простейшие алгебраические свойства сложения и умножения чисел и получили поле. Выкинули из этого поля какие-то свойства и получили целостное кольцо. Выкинули требование об отсутствии делителей нуля и получили кольцо. Выкинули нафиг умножение - получилась абелева группа. Выкинули коммутативность - группа. Выкинули обратные элементы - моноид. Единицу - полугруппа. Наконец, ассоциативность - остался группоид, просто множество с заданной на нем бинарной операцией, какой угодно. И на каждом этапе мы смотрим, какие свойства чисел все еще справедливы, а какие уже нет, какие появились новые возможности, как их классифицировать и т.д. Есть же не только теория групп, но и теория полугрупп, колец, полей и черта в ступе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2463
Это так, и тем не менее толкование групп как групп преобразований формирует гораздо более чёткое интуитивное представление о том, что вообще такое группа, чем перечисление аксиом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5028
Не знаю. Видимо, у нас с Вами разные интуитивные представления. Впрочем, у меня очень мало опыта общения с группами, если не иметь в виду группы "Сплин" и "Оргия праведников". Возможно, дело в этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
Mikhail_K в сообщении #1210493 писал(а):
Понятно, что необходимое пояснение частично дают примеры групп, но только частично.

По-моему, это единственное пояснение, необходимое и достаточное.

То есть, надо показать таких примеров достаточно много. Надо сделать упор на то, что их много. То есть, группы встречаются в математике на каждом шагу, их больше, чем моноидов, полугрупп и группоидов (не являющихся группами). Конечно, многие примеры будут группами преобразований (в смысле, по построению), на чём тоже надо акцентировать внимание.

Anton_Peplov
Почитайте книжки Вавилова, он как раз старается много примеров приводить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5028
Книжки Вавилова давно лежат в директории "прочесть", но сейчас я (само)обучаюсь другим разделам математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2463
Munin в сообщении #1210515 писал(а):
То есть, надо показать таких примеров достаточно много. Надо сделать упор на то, что их много. То есть, группы встречаются в математике на каждом шагу
Понимаете, в чём дело: примеры групп показывают, что таких структур действительно много. Но всё равно остаётся такая мысль: может, если бы определение было другим, то тоже удалось бы придумать много примеров, просто других? И в учебниках нет этих примеров потому, что определение группы ввели именно таким, и стали искать после этого примеры именно групп. (Понятно, что это совсем не так, но, насколько я понимаю студенческую психологию, такой ход мыслей возможен.)
И кроме того: примеры - они разнообразны, и в этом их ценность. А толкование групп как групп преобразований даёт удобный образ, который, наоборот, собирает вместе все представления об этом понятии. Мне кажется, что важно и то и другое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group