2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение18.04.2017, 23:30 


11/04/17
15
ewert в сообщении #1210612 писал(а):
al12345 в сообщении #1210590 писал(а):
расхожая фраза про честный труд vs мелкое жульничество.

Но надо понимать, что за этой фразой стоит. Вовсе не пренебрежение аксиоматикой как таковой, нет (она действительно полезна для "наведения порядка в мозгах"). А чёткое осознание того, что любая аксиоматика без предъявления моделей практически бесполезна, это во-первых. А во-вторых, между прочим, что модели нужны и сугубо теоретически -- для обоснования непротиворечивости аксиоматики.


Полагаю, что еще там стоит тот малоприятный факт, что науке практически неизвестны толковые теории, которые сразу с нуля зародились как аксиоматические.

Впрочем, в соседней теме про мотивации в математике примерно о том же и говорится.

Насколько педагогически-эффективно первое знакомство с действительными числами в виде аксиоматической теории - тоже большой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение18.04.2017, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6145
al12345 в сообщении #1210611 писал(а):
Это даже не опечатка, а характер ненордический нестойкий: немного вывело из равновесия манера общения коллеги Арсения.
А вот это зря. Характер ненордический на форуме можно демонстрировать лишь по достижении 1000 содержательных сообщений. А до этого ни-ни. :D
Вообще-то ув. arseniiv характерен миролюбивыми и добрыми сообщениями. И если Вам что-то показалось не так, возможно в ваших постах есть ответ/причина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение18.04.2017, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1295
al12345 в сообщении #1210554 писал(а):
А классики начинали с моделей, аксиоматическое построение возникло намного позже. Наверное дураки были, а вот учащиеся им сейчас класс покажут :)

Неплохая логика, предлагаю ещё теорию Галуа на языке многочленов и преобразований Чирнгауза рассказывать, потому что так делал Галуа. А рассказ об эллиптических кривых начинать с эллиптических интегралов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение18.04.2017, 23:38 


11/04/17
15
Dan B-Yallay в сообщении #1210615 писал(а):
al12345 в сообщении #1210611 писал(а):
Это даже не опечатка, а характер ненордический нестойкий: немного вывело из равновесия манера общения коллеги Арсения.
А вот это зря. Характер ненордический на форуме можно демонстрировать лишь по достижении 1000 содержательных сообщений. А до этого ни-ни. :D
Вообще-то ув. arseniiv характерен миролюбивыми и добрыми сообщениями. И если Вам что-то показалось не так, возможно в ваших постах есть ответ/причина.


Должен признаться в страшном преступлении - у меня есть несколько сотен содержательных сообщений в этом форуме, сделанных лет 5-10 тому назад. После чего я перестал писать, в рамках собственной кампании борьбы с интернет-зависимостью.

Так что я сделал еще один эккаунт, чтобы написать пару сообщений. Но пара уже переросла в 10+, так что пора и с этим эккаунтом завязывать.

-- 18.04.2017, 23:43 --

kp9r4d в сообщении #1210616 писал(а):
al12345 в сообщении #1210554 писал(а):
А классики начинали с моделей, аксиоматическое построение возникло намного позже. Наверное дураки были, а вот учащиеся им сейчас класс покажут :)

Неплохая логика, предлагаю ещё теорию Галуа на языке многочленов и преобразований Чирнгауза рассказывать, потому что так делал Галуа. А рассказ об эллиптических кривых начинать с эллиптических интегралов.


Неплохая логика - это Ваша безграничная экстраполяция ужа на ежа.

Есть масса примеров, когда исторический ход развития науки совершенно неприемлем для преподавания, и теория Галуа - из этой массы. Сказать то же самое про аксиоматическую теорию действительных чисел я не смогу при всем желании сделать Вам приятное.

Кстати - преподавание теории Галуа только как теории расширений полей, без предварительной мотивации и без последующего разбора примеров - тоже занятие мало благодатное. К сожалению, часть примеров и мотивации таки будет очень даже исторической.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение18.04.2017, 23:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6145

(Оффтоп)

al12345 в сообщении #1210619 писал(а):
Должен признаться в страшном преступлении - у меня есть несколько сотен содержательных сообщений в этом форуме, сделанных лет 5-10 тому назад. После чего я перестал писать, в рамках собственной кампании борьбы с интернет-зависимостью.

Так что я сделал еще один эккаунт, чтобы написать пару сообщений. Но пара уже переросла в 10+, так что пора и с этим эккаунтом завязывать.
С чистосердечным признанием - это не ко мне, а к модераторам. Чем раньше, тем лучше.
Если сильно затянете, они Вам помогут справиться и с интернет зависимостью (по крайней мере в пределах dxdy).

If you know what I mean. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение18.04.2017, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1295
al12345 в сообщении #1210619 писал(а):
Есть масса примеров, когда исторический ход развития науки совершенно неприемлем для преподавания, и теория Галуа - из этой массы. Сказать то же самое про аксиоматическую теорию действительных чисел я не смогу при всем желании сделать Вам приятное.

Ну тогда надо было аргументировать свою точку зрения как-нибудь по-дургому, а не ёрничаньями вида: "Вы что, считаете себя умнее классиков?".

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение18.04.2017, 23:47 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
al12345 в сообщении #1210614 писал(а):
Насколько педагогически-эффективно первое знакомство с действительными числами в виде аксиоматической теории - тоже большой вопрос.

Нет вопроса: абсолютно неэффективно. Поскольку тупо не мотивировано.

Но это -- лишь про первое знакомство. При следующих (пусть даже и при не очень строгом изложении предыдущих) уже выйдет приблизительно наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение18.04.2017, 23:50 


11/04/17
15
ewert в сообщении #1210623 писал(а):
al12345 в сообщении #1210614 писал(а):
Насколько педагогически-эффективно первое знакомство с действительными числами в виде аксиоматической теории - тоже большой вопрос.

Нет вопроса: абсолютно неэффективно. Поскольку тупо не мотивировано.

Но это -- лишь про первое знакомство. При следующих (пусть даже и при не очень строгом изложении предыдущих) уже выйдет приблизительно наоборот.


Но пока то речь идет о первом знакомстве.
И не факт, что будет второе.....

-- 18.04.2017, 23:53 --

kp9r4d в сообщении #1210622 писал(а):
al12345 в сообщении #1210619 писал(а):
Есть масса примеров, когда исторический ход развития науки совершенно неприемлем для преподавания, и теория Галуа - из этой массы. Сказать то же самое про аксиоматическую теорию действительных чисел я не смогу при всем желании сделать Вам приятное.

Ну тогда надо было аргументировать свою точку зрения как-нибудь по-дургому, а не ёрничаньями вида: "Вы что, считаете себя умнее классиков?".


Вы адвокат товарища, на реплику которого возник мой ответ?

Скучно с Вами, товарищи, однако. Так что самовыпиливаюсь в инициативном порядке и продолжаю сюда не писать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12814
Москва
al12345 в сообщении #1210590 писал(а):
И еще - выбросьте, пожалуйста, Камынина в топку. Если он Вам чем-то дорог, то оставьте его себе, а детям эту гадость не советуйте.

Для справки - я знаю толк в устрицах, этот аффтар два года читал мне мат.анализ.
Я тоже много лет слушаю Баха. Но вот сочинять фуги так и не выучился.
Сильный аргумент: "я слушал Камынина, ничего не понял, поэтому выбросьте этот учебник". :D
А я на заре своей преподавательской деятельности работал семинаристом в потоке Леонида Ивановича Камынина, много раз принимал коллоквиумы и экзамены после его лекций, поэтому прекрасно знаю достоинства и недостатки его курса, так что ваши научения мне без надобности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 00:09 


11/04/17
15
Brukvalub в сообщении #1210630 писал(а):
al12345 в сообщении #1210590 писал(а):
И еще - выбросьте, пожалуйста, Камынина в топку. Если он Вам чем-то дорог, то оставьте его себе, а детям эту гадость не советуйте.

Для справки - я знаю толк в устрицах, этот аффтар два года читал мне мат.анализ.
Я тоже много лет слушаю Баха. Но вот писАть фуги так и не выучился.
Сильный аргумент: "я слушал Камынина, ничего не понял, поэтому выбросьте этот учебник". :D
А я на заре своей преподавательской деятельности работал семинаристом в потоке Леонида Ивановича Камынина, много раз принимал коллоквиумы и экзамены после его лекций, поэтому прекрасно знаю достоинства и недостатки его курса, так что ваши научения мне без надобности.


Импринтинг - страшная штука. Вот поэтому и рекомендую учебник Камынина в топку.

На этом прощаюсь окончательно, пока еще что-нибудь [или кого-нибудь] в топку не порекомендовал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 00:38 
Аватара пользователя


16/03/17
126
В свое время, лично у меня, главная проблема с введением вещественных чисел через аксиомы в учебнике Зорича была аксиома о полноте/непрерывности. Все остальные аксиомы достаточно очевидны: поле + линейное упорядочение + согласование порядка и операций в поле. Но аксиома о полноте это, в каком-то смысле, как пятый постулат Евклида о параллельных прямых. Все остальные постулаты простые и естественные, а это что-то совсем из другой оперы. Подобная аналогия навевается и тем, что есть и другие поля со всеми остальными аксиомами кроме полноты (то же поле рациональных чисел), как есть и другие геометрии. Понятно, что здесь идет речь о пополнении поля через нормирование, но аксиоматически верить в существование такого пополнения как-то не очень комфортно, тем более еще не изучив до этого процедуру пополнения в алгебре в общем виде.

Дело еще и в том, что именно из этой аксиомы следует (и равносильно ей) существование точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества + эквивалентные формулировки типа существования общей точки у стягивающейся системы отрезков, существования предельных точек у бесконечных множеств, сходимость фундаментальных последовательностей. В результате, аксиома о полноте, по-сути, это наиболее важное понятие начального курса анализа, из которого потом выводятся все последующие теоремы о пределах, непрерывных функциях, дифференцировании и т.д. А если не чувствуешь внутренней уверенности в фундаменте и в том, как именно этот фундамент построен, то потом и все здание тебе не кажется прочным и понятным. Фактическая реализация этого пополнения рациональных чисел, например через дедекиндовы сечения, уже элементарно доказывает эту "аксиому", и в дальнейшем чувствуешь себя гораздо увереннее и спокойнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 00:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
al12345 в сообщении #1210631 писал(а):
Вот поэтому и рекомендую учебник Камынина в топку.

А вот так -- не надо. Мало ли что Вам лично не в жилу пришлось.

Я лично, естественно, лекторского мастерства Камынина оценить не могу, т.к. учился в другом городе. И учебника его тоже не читал.

Но зато прекрасно понимаю, как может что-то вызывать раздражение просто по молодости. Меня в своё время сильно раздражали лекции Людвига своей косноязычностью. На фоне остальных блестящих лекторов кафедры (да и не только блестящих, хватало и просто хороших).

Ну и что мне принесло то раздражение?... -- только потерю курса, который я освоил максимум наполовину. А он ведь был одним из основоположников.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 00:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12814
Москва
Odysseus в сообщении #1210638 писал(а):
существование точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества
не у любого, а только у НЕПУСТОГО!
Odysseus в сообщении #1210638 писал(а):
существования предельных точек у бесконечных множеств

А какие предельные точки есть у множества натуральных чисел? Или оно - конечное? :shock:

-- Ср апр 19, 2017 00:45:33 --

ewert в сообщении #1210640 писал(а):
А вот так -- не надо. Мало ли что Вам лично не в жилу пришлось.
ewert, не стОит размениваться на споры с троллем! Этот товарисч явился к нам с лозунгом: "пришел, увидел, нахамил", не нужно воспринимать его всерьез.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 00:51 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
Odysseus в сообщении #1210638 писал(а):
ело еще и в том, что именно из этой аксиомы следует (и равносильно ей) существование точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества + эквивалентные формулировки типа существования общей точки у стягивающейся системы отрезков, существования предельных точек у бесконечных множеств, сходимость фундаментальных последовательностей. В результате, аксиома о полноте, по-сути, это наиболее важное понятие начального курса анализа, из которого потом выводятся

Да дело не в том, что они "выводятся". А в том, что они абсолютно необходимы для дальнейшей комфортной работы. И в первую очередь -- необходима полнота в смысле сходимости фундаментальных последовательностей.

И в этом смысле канторов подход наиболее идеен (не говорю уж о том, что он потом оказался наиболее универсальным).

Во, кстати. Сошлюсь на себя, любимого:

ewert в сообщении #1210405 писал(а):
Если нет предела, например, слева, то по некоторой последовательности $a_k\to c-0$ будет $|f(a_{2k+1})-f(a_{2k})|>\varepsilon$.

А это ведь ровно полнота, между прочим.

-- Ср апр 19, 2017 01:56:26 --

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1210643 писал(а):
не у любого, а только у НЕПУСТОГО!

да и у пустого тоже, между кстати, пусть это и несколько парадоксально

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение вещественного числа
Сообщение19.04.2017, 01:03 
Аватара пользователя


16/03/17
126
Brukvalub в сообщении #1210643 писал(а):
Odysseus в сообщении #1210638 писал(а):
существование точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества
не у любого, а только у НЕПУСТОГО!

Да, конечно.

Brukvalub в сообщении #1210643 писал(а):
Odysseus в сообщении #1210638 писал(а):
существования предельных точек у бесконечных множеств

А какие предельные точки есть у множества натуральных чисел? Или оно - конечное? :shock:

А здесь подразумевалась ограниченность множества (если, впрочем, плюс и минус бесконечности тоже не считать возможными "предельными точками"), как и в формулировке про точные верхние и нижние грани (где если совсем строго, конечно, то ограниченность сверху для верхней грани и снизу для нижней грани). Я выразил общие впечатления, но надо, конечно, более аккуратно выражаться даже в таких случаях.

-- 18.04.2017, 14:18 --

ewert в сообщении #1210650 писал(а):
Odysseus в сообщении #1210638 писал(а):
ело еще и в том, что именно из этой аксиомы следует (и равносильно ей) существование точных верхних и нижних граней у любого ограниченного множества + эквивалентные формулировки типа существования общей точки у стягивающейся системы отрезков, существования предельных точек у бесконечных множеств, сходимость фундаментальных последовательностей. В результате, аксиома о полноте, по-сути, это наиболее важное понятие начального курса анализа, из которого потом выводятся

Да дело не в том, что они "выводятся". А в том, что они абсолютно необходимы для дальнейшей комфортной работы. И в первую очередь -- необходима полнота в смысле сходимости фундаментальных последовательностей.

Вроде я именно это и написал про дальнейшую комфортную работу. А полнота в смысле сходимости фундаментальных последовательностей это просто одна из эквивалентных формулировок этой аксиомы в случае поля вещественных чисел.

ewert в сообщении #1210650 писал(а):
И в этом смысле канторов подход наиболее идеен (не говорю уж о том, что он потом оказался наиболее универсальным).

С этим я не спорю. Дедекиндовы сечения, конечно, возможны только для линейно упорядоченных полей, типа поля рациональных чисел. Пополнение через фундаментальные последовательности более универсально. Но как говорил Фейнман, хороший физик знает 6-7 эквивалентных формулировок для любой теории. Думаю это полезно и в математике.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group