Найти мат ожидание

[vuv9]

Задача:
В ряд расположены $m$ предметов.
Случайно выбираются $k$ предметов, $k < m$.
$X$ – случайная величина, равная количеству таких предметов $i$, что $i$ – выбран, а все его соседи не выбраны.
Найдите $E[X]$.


Рассуждение:
Пусть $m = 4, k = 2$, тогда максимальное значение $X$ равно 2 (например, выбираем предмет через один), минимальное – 0 (например, выбираем первые два).
Да и вообще, задачу можно переформулировать следующим образом:
Случайно генерируется строка длины $m$, содержащая $k < m$ единиц. Найти математическое ожидание количества подстрок "...010..." ("10..", "..01" в случае начала и конца строки).

Пример, для $m = 5, k = 3$:
строка | $X$
11100 | 0
11010 | 1
11001 | 1
10110 | 1
10101 | 3
10011 | 1
01110 | 0
01101 | 1
01011 | 1
00111 | 0

Поэтому $X$ может принимать значения от 0 до $k$ и:
$E[X] = \sum_{j = 0}^{k}jPr[X = j]$

Как вычислить $Pr[X = j]$?
Понятно, что всего $C_m^k$ таких строк, но как посчитать те, в которых количество подстрок "...010..." равно $j$ непонятно.
Или подход в целом неверен?

[--mS--]

Зачем вычислять эту вероятность?

Только позавчера договорились с тремя группами первокурсников, что слова "случайная величина, равная количеству таких ..., что ..." должны вызывать у них условный рефлекс: "количество" есть сумма индикаторов, т.е. бернуллиевских случайных величин, равных единице либо нулю в зависимости от того, случилось искомое событие при соответствующем испытании или нет.

[vuv9]

Получается, что $X = \sum_{i=1}^{m} Y_i$, где $Y_i$ имеют распределение Бернулли с вероятностью успеха $p_i$.
Успех – предмет i выбран, а предметы $(i-1, i+1)$ – нет.

То есть $p_i = \frac{(m-k)k(m-k)}{m^3}$ при $i \in [2,m-1]$ и $p_i = \frac{k(m-k)}{m^2}$ при $i \in \{1, m\}$

И теперь нужно посчитать $E[X]$, верно?

[--mS--]

vuv9 в сообщении #1210100 писал(а):

То есть $p_i = \frac{(m-k)k(m-k)}{m^3}$ при $i \in [2,m-1]$ и $p_i = \frac{k(m-k)}{m^2}$ при $i \in \{1, m\}$

Обе вероятности найдены неверно.

[vuv9]

Ещё попытка:

Выбрать $k$ предметов из m можно $C_m^k$ способами.
При $i = 1$ "успех" значит, что мы выбрали первый предмет и не выбрали второй, следовательно, остаётся выбрать ещё $k-1$ предмета из $m-2$ оставшихся.

Значит при $i = 1$ вероятность равна $\frac{C_{m-2}^{k-1}}{C_m^k} = \frac{(m-2)!k!(m-k)!}{(k-1)!(m-k-1)!m!} = \frac{k(m-k)}{m(m-1)}$. Аналогично для $i = m$.

При $i \in [2,m-1]$ вероятность равна $\frac{C_{m-3}^{k-1}}{C_m^k} = \frac{k(m-k)(m-k-1)}{m(m-1)(m-2)}$

[Yadryara]

vuv9
Теперь правильно. Чему же равно искомое мат. ожидание?