2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 21:09 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Пусть у нас есть замкнутая поверхность с заданной на ней функцией $g(x), x\in S$, где $S$-поверхность.
И надо найти распределение $\psi$ внутри и снаружи это поверхности (внешняя и внутренняя задача Дирихле), которое удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta \psi=0$ (или Кирхгофа, если рассматривать оптику).
Решение имеет вид $\psi(x)=\int g(y)\frac{\partial G(x-y)}{\partial n} dS$, где $G(x-y)$ - функция Грина оператора Лапласа (потенциал единичного точечного заряда).
У меня следующие вопросы: если рассмотрим точку, которая находится на очень маленьком расстоянии от какой-то точки поверхности с граничным значением $g(x)$, то значение в этой точке должно быть близко к $g(x)$ из соображений непрерывности. Но ведь это значение получается из вкладов всех точек поверхности $S$ согласно интегралу, т.е. грубо говоря каждая точка поверхности "излучает" свою функцию, и путем интегрирования получаем наше поле. И полученное значение, которое складывалось из сигналов всех точек не будет равно значению в точке на границе поверхности.
И еще, иногда в уравнении Пуассона справа вводят множитель $\frac{1}{4\pi}$, и тогда функция Грина будет в $\frac{1}{4\pi}$ раз меньше, и тогда наш интеграл в $\frac{1}{4\pi}$ меньше, и тогда значение в точках будут в $\frac{1}{4\pi}$, и это неизбежно рассогласует их со значениями на границе.
Лично у меня получилось, что все хорошо только когда у нас есть бесконечная плоскость с заданными значениями $g(x)$, и нулевые граничные условия на бесконечности, тогда значение в точке, бесконечно близкой к граничной зависит только от значения в этой граничной точке, а вклады от остальных точек нулевые, т.к. $\cos(\frac{\pi}{2})=0$ (производная по направлению к нормали для потенциала точечного заряда).
А что делать в случае других поверхностей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Sicker в сообщении #1209967 писал(а):
У меня следующие вопросы: если рассмотрим точку, которая находится на очень маленьком расстоянии от какой-то точки поверхности с граничным значением $g(x)$, то значение в этой точке должно быть близко к $g(x)$ из соображений непрерывности. Но ведь это значение получается из вкладов всех точек поверхности $S$ согласно интегралу, т.е. грубо говоря каждая точка поверхности "излучает" свою функцию, и путем интегрирования получаем наше поле.

Отличное упражнение! Докажите, что это одно и то же. Это как раз повод поупражняться в векторном анализе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 22:05 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Попробую)
А это точно верно? Просто если например мы в какой-то точке поверхности сделаем дельта-образный скачок $g(x)$, то это неизбежно приведет к изменению значения в нашей точке, которое пропорционально $a$(и имеет такой же порядок), если скачок $a\delta(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Sicker в сообщении #1209967 писал(а):
функция Грина оператора Лапласа (потенциал единичного точечного заряда).
Это неверно. Д.б. "функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа (в данной области)", и она не совпадает с потенциалом единичного заряда. Даже в случае полупространства $G(x,y)=\Phi (x-y) -\Phi (x,y')$, где $\Phi (z)$ это потенциал единичного заряда в 0, а $y'$ зеркальный образ $y$ (по отношению к границе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 22:18 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
У вас одна и та же функция имеет разное количество аргументов.

-- 16.04.2017, 22:20 --

Ну функция Грина будет определяться из $\Delta G(y-x)=\delta(x)$, и совпадет с потенциалом точечного заряда, нет?

-- 16.04.2017, 22:21 --

Red_Herring

-- 16.04.2017, 22:29 --

Red_Herring в сообщении #1209986 писал(а):
$G(x,y)=\Phi (x-y) -\Phi (x,y')$

А там не плюс должен быть? А то ноль выходить из за симметричности потенциала.
И у меня как раз для полупространства получалось, что моя функция Грина должна быть в два раза больше) (или в два пи, смотря какое уравнение рассматривать)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Sicker в сообщении #1209987 писал(а):
Ну функция Грина будет определяться из $\Delta G(y-x)=\delta(x)$, и совпадет с потенциалом точечного заряда, нет?

Из задачи Дирихле: т.е. уравнение должно выполняться в области, и $G(x,y)$ обращается в 0 на границе. А потенциал удовлетворяет уравнению во всем пространстве.

Sicker в сообщении #1209987 писал(а):
А там не плюс должен быть? А то ноль выходить из за симметричности потенциала.
Плюс для задачи Неймана, минус для Дирихле. Разумеется, при наличии симметрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 22:53 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring
Кстати, тут близкая тема зоны Френеля. Может быть дурацкий вопрос, но вклад в амплитуду в какой-то точке будет лишь давать первая зона Френеля, но ведь ее площадь очень мала по сравнению с площадью остальной сферы, тогда при подстановке в наш интеграл у нас амплитуда почти нулевая, в чем загвостка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Я не знаю, что Вы имеете в виду, но как правило, решение дается сингулярным интегралом и важны не только длина/площадь/объем зоны, но и тип сингулярности. Посмотрите например асимптотику $\iiint (x^2+y^2+z^2 + h^2)^{-p}\,dxdydz$ при $h\to 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 23:02 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring
А там же никакой сингулярности не будет, если мы рассматриваем точку на каком-то удаленном расстоянии от сферы (уже другая задача)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 23:03 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Sicker в сообщении #1209967 писал(а):
Но ведь это значение получается из вкладов всех точек поверхности $S$ согласно интегралу, т.е. грубо говоря каждая точка поверхности "излучает" свою функцию, и путем интегрирования получаем наше поле. И полученное значение, которое складывалось из сигналов всех точек не будет равно значению в точке на границе поверхности.

Когда точка $x$ стремится к точке $y\in S$ ядро $\frac{\partial G(x,y)}{\partial n}$ стремится к дельта функции (на $S$). Так что вклад $g$ в далеких от $y$ точках исчезает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 23:08 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Асимптотика будет $h^{-2p+3}$

-- 16.04.2017, 23:09 --

Vince Diesel в сообщении #1210008 писал(а):
Когда точка $x$ стремится к точке $y\in S$ ядро $\frac{\partial G(x,y)}{\partial n}$ стремится к дельта функции (на $S$). Так что вклад $g$ в далеких от $y$ точках исчезает.

Да, получается что-то типа интеграла от дельта-функции плюс интеграл от обычной ненулевой функции, чей вклад сравним с дельта-функцией. Почему вклады исчезают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Sicker в сообщении #1210011 писал(а):
Почему вклады исчезают?

Потому что это функция Грина задачи Дирихле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 23:15 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring
Т.е. решение уравнения Лапласа с граничными условиями на сфере, где поле всюду ноль, и имеет дельта-окрестность в какой-то точке? Тогда очевидно.
Тогда зачем производная по нормали нужна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 23:25 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
А это уже отдельный факт, что ядро, дающее решение задачи Дирихле с нулевой правой частью, выражается через функцию Грина задачи Дирихле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение16.04.2017, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Sicker
Давайте разберитесь: У нас есть область $X$, её граница $S$ и задача Дирихле: $\Delta u= f$ в $X$ и $u|_S=g$. Т.е. у нас есть две функции, одна в $X$, а вторая на $S$, и соответственно два интегральных оператора:
$u=\hat{G} f + \hat{P}g$. Я ставлю шапочки исключительно из уважения к физикам. У одного из них интегральное ядро будет $G(x,y)$ с $x,y \in X$, а вот у второго оно будет $P(x,y)=\partial_{n_y}G|_{y\in S}$ с $x\in X,y\in S$. И вот именно второе и будет удовлетворять $P|_{x\in S} =\delta(x-y)$, и эта дельта поверхностная, а не пространственная. А если бы мы не брали производную, то по определению бы получили не дельту, а ноль!

(Оффтоп)

На самом деле там будут ещё операторы: из на функций $X$ в функции на $S$: $\hat{P}^*: f\to \partial_{n_x}\hat{G}f|_S$, и так называемый Дирихле-в-Нейман $\hat{N}:g\to \partial_{n_x}\hat{P}g|_S$.


-- 16.04.2017, 15:34 --

Vince Diesel в сообщении #1210026 писал(а):
А это уже отдельный факт, что ядро, дающее решение задачи Дирихле с нулевой правой частью, выражается через функцию Грина задачи Дирихле.
Который наш друг Sicker должен выучить из учебника.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group