2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 13:33 


27/08/16
905
В учебнике И. К. Волков, С. М. Зуев, Г. М. Цветкова "Случайные процессы" http://www.enu.kz/repository/repository ... ocessi.pdf на стр. 89 (в файле стр. 87) в Примере 3.5 написано, что стационарный случайный процесс с ковариационной функцией $K_\xi\left(\tau\right)=\sigma^2\exp\left(-\alpha^2\left|\tau\right|\right)$ дифференцируем (в необобщённом смысле данного в этом разделе учебника определения), так как $$\lim_{\tau\to+0}K_\xi''\left(\tau\right)=\sigma^2\alpha^2=\lim_{\tau\to-0}K_\xi''\left(\tau\right).$$ Но, ведь, дисперсия производной стационарного случайного процесса равна $-K_\xi''\left(0\right)$, и она в силу написанного выше предела отрицательна. И это чушь. Что я не понимаю?

Сходимость всюду среднеквадратичная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12711
Москва
realeugene в сообщении #1209824 писал(а):
Но, ведь, дисперсия производной стационарного случайного процесса равна $-K_\xi''\left(0\right)$
Как вы это узнали? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 14:26 


27/08/16
905
Brukvalub в сообщении #1209847 писал(а):
Как вы это узнали? :shock:
Прочитал в том же учебнике на стр. 88 (86 в файле) Следствие 3.3 Теоремы 3.7

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12711
Москва
Так это, вроде, формула для ковариационной матрицы производной, о чем прямо в тексте и написано. :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 14:34 


27/08/16
905
Brukvalub в сообщении #1209854 писал(а):
Так это, вроде, формула для ковариационной матрицы производной, о чем прямо в тексте и написано. :shock:

Да, моя вина, не упомянул, что в примере рассматривается скалярный случайный процесс. Так что, упомянутая ковариационная матрица состоит из одного элемента, равного дисперсии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5101
Москва
Минус на минус...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 15:08 


27/08/16
905
Евгений Машеров в сообщении #1209865 писал(а):
Минус на минус...
Так там, ведь, три минуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5101
Москва
Откуда третий? Каков знак второй производной в точке максимума?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 15:42 


27/08/16
905
Евгений Машеров в сообщении #1209872 писал(а):
Откуда третий? Каков знак второй производной в точке максимума?
В точке максимума $K_\xi\left(\tau\right)$ недифференцируема, так что, приходится рассматривать пределы. Для $\tau\ne0$ у второй производной там везде плюс, конечно, что, также, очевидно и из графика функции. Кроме того, есть ещё минус в упомянутой формуле для ковариации, который и даёт странный минус для дисперсии в результате.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2440
Физтех
Я могу ошибаться, но мне кажется, что чушь возникает потому, что этот процесс не дифференцируем в среднем квадратичном. Процесс дифференцируем в среднем квадратичном в точке $t_0$ тогда и только тогда, когда 1) его математическое ожидание дифференцируемо в точке $t_0$ и 2) существует предел $$\lim\limits_{\varepsilon,\delta\to0}\frac{1}{\varepsilon \delta}\left(K(t_0+\varepsilon,t_0+\delta)-K(t_0+\varepsilon,t_0)-K(t_0,t_0+\delta)+K(t_0,t_0)\right)$$ Этот предел еще называют обобщенной производной (к обобщенным функциям он не имеет отношения). И для указанной функции этот предел не существует. Не существует он попросту потому, что его значение зависит от пути в пространстве $(\varepsilon,\delta)$. Если взять $\varepsilon=\delta>0$, то предел будет равен $+\infty$, а если взять $\varepsilon=-\delta>0$, то предел будет равен $-\sigma^2\alpha^4$. Когда авторы устремляют $\tau=t_2-t_1$ к нулю, они идут по пути $\varepsilon=-\delta$ и получают конечный предел. Но в доказательстве теоремы возникает именно тот предел, который я выписал наверху, а не те, которые они рассматривают.

Этот предел -- не то же самое, что существование второй смешанной производной, это более сильное свойство. Этот предел отличается от второй смешанной производной так же, как отличается предел функции двух переменных от повторного предела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 17:37 


27/08/16
905
ShMaxG в сообщении #1209897 писал(а):
Процесс дифференцируем в среднем квадратичном в точке $t_0$ тогда и только тогда, когда 1) его математическое ожидание дифференцируемо в точке $t_0$ и 2) существует предел...

Правдоподобно. А это теорема из какого именно учебника?
Авторы обсуждаемого учебника привели этот процесс именно как пример дифференцируемого процесса.

(Оффтоп)

Просто, я решил освежить и систематизировать свои знания в этой области с упором на практику, нарыл в сети вроде бы приличный учебник для инженеров (а Бауманка всегда была далеко не последним ВУЗом, хоть и не Физтех, конечно) и начал его читать и прорёшивать задачи. И обнаружил, что мои ответы на задачи из главы учебника про стохастический анализ нередко расходятся с авторскими ответами. Как пример - задача 3.14. Пытаясь понять, где я грубо ошибаюсь, я и дошел до самого раннего примера из учебника, который я не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2440
Физтех
realeugene в сообщении #1209903 писал(а):
Правдоподобно. А это теорема из какого именно учебника?
Есть три строгих учебника, которые мне нравятся, там эта теорема есть:

[1] Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007
[2] Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005
[3] Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение16.04.2017, 18:13 


27/08/16
905
ShMaxG в сообщении #1209906 писал(а):
Есть три строгих учебника, которые мне нравятся, там эта теорема есть:

Ага, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение17.04.2017, 07:57 


27/08/16
905
ShMaxG в сообщении #1209897 писал(а):
Я могу ошибаться, но мне кажется, что чушь возникает потому, что этот процесс не дифференцируем в среднем квадратичном.
На самом деле, это ковариационная функция белого шума, пропущенного через ФНЧ первого порядка. Так что, такой процесс дифференцируем в точности том же самом смысле, как и винеровский. И авторы учебника, явно, поторопились использовать этот процесс в качестве примера дифференцируемого процесса в разделе про стохастический анализ.

С другой стороны, без дифференцирования подобных процессов обойтись сложно, но придать строгий смысл подобной производной, наверное, можно только в рамкой теории, непротиворечиво описывающей белый шум как случайный процесс.

Тем не менее, бауманский учебник, на мой взгляд, неплох при всей его нестрогости, но из-за огромного количества мелких ошибок и опечаток пользоваться им как справочником должно быть затруднительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)
Сообщение17.04.2017, 09:32 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3300
Бурашево
realeugene в сообщении #1210105 писал(а):
На самом деле, это ковариационная функция белого шума, пропущенного через ФНЧ первого порядка.
Это ковариационная функция экспоненциально-коррелированного процесса. Сам процесс не определяется однозначно своей ковариационной функцией. Такую же, например, имеет и телеграфный сигнал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group