2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Оду третьего порядка
Сообщение13.04.2017, 16:07 
Аватара пользователя


05/04/13
399
Доброго времени суток!
Просьба помочь в поисках какого-либо нетривиального решения следующего д.у.
$f'''+a f'+b f^2=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение13.04.2017, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1156
Москва
А если попробовать сделать стандартную замену $f'=p(f)$? Получится уравнение второго порядка. К нему метод вариации произвольной постоянной не применится? Отбросить в нём слагаемое с функцией $f$ - уравнение решится - и проварьировать константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение13.04.2017, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6619
Hogtown
Metford в сообщении #1209201 писал(а):
К нему метод вариации произвольной постоянной не применится?
Нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение13.04.2017, 17:40 
Аватара пользователя


05/04/13
399
Metford
Конечно, стандартная замена $f'=p(f)$ приводит к оду 2-го порядка, но там дальше туман!

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение13.04.2017, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5463
Новосибирск

(Оффтоп)

Не в роте, а во рту Не третьего, а третьему порядку оду посвятим. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение13.04.2017, 17:49 
Аватара пользователя


05/04/13
399
Вот
$p(\xi )^2 p''(\xi )+p(\xi ) p'(\xi )^2+a p(\xi )+b \xi ^2=0$

Для "однородного"
$p(\xi ) p''(\xi )+ p'(\xi )^2+ a=0$ общее решение

$p(\xi)=\pm\sqrt{a \left(c_1-\left(c_2+\xi \right){}^2\right)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение13.04.2017, 20:10 
Заслуженный участник


25/02/08
2842
TelmanStud
Это не пройдёт, вы не можете отбрасывать части уравнения в нелинейном уравнении.
В любом случае, если задача не учебная, то возможно и нет аналитического решения. Попробуйте глянуть в справочнике Зайцева и Полянина по ОДУ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение13.04.2017, 20:30 
Аватара пользователя


05/04/13
399
Ms-dos4 в сообщении #1209256 писал(а):
TelmanStud
В любом случае, если задача не учебная, то возможно и нет аналитического решения. Попробуйте глянуть в справочнике Зайцева и Полянина по ОДУ.

Задача не учебная. Смотрел на сайте EqWorld, не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение13.04.2017, 22:04 
Заслуженный участник


10/01/16
1211
TelmanStud
Нехорошее уравненние. Скорее всего, явно найти ничего не удастся.
Есть два частных решения:
$f= \frac{60}{bx^3} +...$ при $x\to 0$
$f=-\frac{a}{bx} + ...$ при $x \to \infty$
(ряды по целым степеням, коэф-ты определяются рекуррентно, но явно тоже не выписываются. Главные члены асимптотики получены "по Брюно", - рассмотрением "укорочения". Там , правда, можно еще одно укорочение посмотреть - отбрасывая $bf^2$....)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение13.04.2017, 22:07 
Заслуженный участник


25/02/11
1453
Стоит посмотреть справочники Зайцева, Полянина. Может, там больше, чем на сайте. Мейпл для $a=0$ что-то выдает, но там неявное задание. Вроде у меня получилось оттуда частные решения для обратной функции:
$$
x(u)=3 \text{Ei}\left(-\sqrt[3]{\log (u)}\right),$$
$$x(u)=\frac{3}{4} \left(\sqrt{2 \pi } \text{erf}\left(\sqrt[6]{\log (u)}\right)-2 \sqrt{2}
   e^{-\sqrt[3]{\log (u)}} \sqrt[6]{\log (u)}\right)$$
но не проверял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение13.04.2017, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12754
Москва
Vince Diesel в сообщении #1209287 писал(а):
Мейпл для $a=0$ что-то выдает, но там неявное задание. Вроде у меня получилось оттуда частные решения для обратной функции:

Это почти то же самое, что просто сказать: Вот при этих начальных данных по теореме существования и единственности есть нетривиальное решение... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение14.04.2017, 13:33 
Аватара пользователя


05/04/13
399
DeBill в сообщении #1209286 писал(а):
TelmanStud
Нехорошее уравненние. Скорее всего, явно найти ничего не удастся.

А выглядит симпатично!

-- 14.04.2017, 14:35 --

Всем спасибо!
У меня только за ночь получилось свести заменой $p(\xi)^2=u(\xi)$ к
$u''+bu^{-\frac{1}{2}}\xi^2+a=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение15.04.2017, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
474
МО
TelmanStud
Глянул точечные симметрии.
В общем случае коэффициентов только сдвиг $\frac{\partial}{\partial x}$, радикально лучше при $b=0$, что понятно, а при $a=0$ к сдвигу добавляется растяжение $x\frac{\partial}{\partial x} - 3y\frac{\partial}{\partial y}$, так что на два порядка должно снижаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение17.04.2017, 11:09 
Аватара пользователя


05/04/13
399
пианист
Спасибо! Кажись всё совсем плохо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оду третьего порядка
Сообщение18.04.2017, 06:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
474
МО
Еще не совсем.
Я бы еще глянул симметрии вида $\Phi (x,y,y') \frac{\partial}{\partial y}$.
Во всяком случае, на первый взгляд неочевидно. что таких (нетривиальных) симметрий нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group