2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поточечная сумма канторовых множеств
Сообщение12.04.2017, 12:10 


31/03/16
209
Завис тут над задачкой: доказать что поточечная сумма канторовых множеств принадлежащих отрезку $[0,1]$ равна $[0,2]$.
Понятно что любое из чисел отрезка $[0,2]$ можно представить в виде троичной дроби вида $a_1,a_2a_3...a_n...$ где $a_i$ - это $0$, $1$ или $2$. Число же из канторового множества - тоже такая же троичная дробь, но $a_i$ - это $0$ или $2$. То есть надо доказать что любая троичная дробь может быть предствалена в виде суммы двух троичных дробей без 1 в их записях. Для одной единицы понятно - например если единица на втором месте после запятой - просто берем такую дробь без единицы и прибавляем $0,00222222222....$ что равносильно $0,01$. Теперь остается придумать такой способ для произвольного количества единиц на произвольных местах, и вот тут я что-то завис...

 Профиль  
                  
 
 Re: Поточечная сумма канторовых множеств
Сообщение12.04.2017, 13:47 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вот кусочек записи сложения столбиком двух бесконечных троичных дробей — чтобы пояснить обозначения. Здесь $a$ и $b$ — слагаемые, $c$ — carry (перенос), $s$ — sum. Нумерация разрядов, понятно, слева направо. Разряд целых единиц разумно нумеровать нулём.$$\begin{array}{cccc}\ldots& c_{i-1}& c_i&\ldots \\\ldots&\ldots& a_i&\ldots \\\ldots&\ldots& b_i&\ldots \\ \hline\ldots&\ldots& s_i&\ldots\end{array}$$

Обычно сложение производится поразрядно «справа налево»: уже известные значения $c_i, a_i, b_i$ определяют $s_i$ и $c_{i-1}$:$$\begin{array}{ccc|cc}
c_i&a_i&b_i&s_i&c_{i-1} \\ \hline
0&0&0&0&0 \\
1&0&0&1&0 \\
0&0&2&2&0 \\
1&0&2&0&1 \\
0&2&2&1&1 \\
1&2&2&2&1 \end{array} $$В Вашем же случае попробуйте использовать таблицу для бесконечного процесса «слева направо»: уже имея $s_i, c_{i-1}$, однозначно получаем $c_i, a_i, b_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поточечная сумма канторовых множеств
Сообщение12.04.2017, 14:08 


31/03/16
209
svv в сообщении #1208988 писал(а):
Вот кусочек записи сложения столбиком двух бесконечных троичных дробей — чтобы пояснить обозначения. Здесь $a$ и $b$ — слагаемые, $c$ — carry (перенос), $s$ — sum. Нумерация разрядов, понятно, слева направо. Разряд целых единиц разумно нумеровать нулём.$$\begin{array}{cccc}\ldots& c_{i-1}& c_i&\ldots \\\ldots&\ldots& a_i&\ldots \\\ldots&\ldots& b_i&\ldots \\ \hline\ldots&\ldots& s_i&\ldots\end{array}$$

Обычно сложение производится поразрядно «справа налево»: уже известные значения $c_i, a_i, b_i$ определяют $s_i$ и $c_{i-1}$:$$\begin{array}{ccc|cc}
c_i&a_i&b_i&s_i&c_{i-1} \\ \hline
0&0&0&0&0 \\
1&0&0&1&0 \\
0&0&2&2&0 \\
1&0&2&0&1 \\
0&2&2&1&1 \\
1&2&2&2&1 \end{array} $$В Вашем же случае попробуйте использовать таблицу для бесконечного процесса «слева направо»: уже имея $s_i, c_{i-1}$, однозначно получаем $c_i, a_i, b_i$.


Спасибо!
Что-то подобное маячило в мозгу, но до самого окончательного решения не добрался :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Majestic-12 [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group