2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 21:06 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Можно проверить, что при $h\to 0$ формула переходит в известную формулу для сферического зеркала. Это лежит в стороне от собственно задачи, поэтому сделаю сам.

Положим $h=0$, тогда корень равен единице:
$\frac{1}{R-u}-\frac{1}{v-R}=\frac{2}{R}$
Приведём к общему знаменателю слева:
$\frac{v-2R+u}{(v-R)(R-u)}=\frac{2}{R}$
Избавимся от дробей:
$R(v-2R+u)=2(v-R)(R-u)$
$Rv-2R^2+uR=2(vR-R^2-uv+uR)$
Много чего сокращается:
$vR+uR=2uv$
Делим на $uvR$ :
$\frac 1 u+\frac 1 v=\frac 2 R$

guitar15 в сообщении #1209085 писал(а):
разложить корень в ряд
Верно. Нужны два первых слагаемых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 21:23 


17/03/17
176
После разложения корня получилось
$$1-\frac{h^2}{2R^2}$$
при $h\to 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 21:26 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
guitar15

(можно поинтересоваться)

Вы корень в ряд как раскладывали? Брали значение в точке, брали производную в точке, подставляли в рад Тейлора... Или как-то иначе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 21:30 


17/03/17
176
В ряд Тейлора. Также $h$ больше второй степени я исключил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 21:35 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
guitar15

(полезная формула)

при $a << 1$
$(1 \pm a)^\alpha\sim 1\pm \alpha a$
Запоминается моментально, а потом экономит много времени

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 21:42 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Подставьте это вместо корня. Ну, а к форме, данной в ответе, это, наверное, приводится аналогично тому, как в моей проверке.

-- Ср апр 12, 2017 22:09:56 --

Кстати, эта формула
guitar15 в сообщении #1208878 писал(а):
$$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{2}{R}+\frac{h^2}{R^2}(\frac{1}{R}-\frac{1}{u})^2$$
правильной быть не может, по двум причинам:
1) В правильную формулу $u$ и $v$ должны входить симметрично (либо её можно привести к симметричному виду). Ведь если пустить лучи в обратном направлении (из $B$ через $M$ в $A$), закон отражения будет соблюдён. Следовательно, формула, которая получится перестановкой $u$ и $v$, должна остаться правильной, но в процитированном варианте это исключено (правая часть изменится, а левая нет).
2) В правой части слагаемое, не зависящее от $h$, и слагаемое, квадратичное по $h$, имеют разную размерность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про Сферическое зеркало
Сообщение12.04.2017, 22:25 


17/03/17
176
Все получилось !!! Спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group