Как переписать реккурентное соотношение?

[DLL]

Рассмотрим реккурентное соотношение

$$ c_n = \sum_{i=0}^{n} a_{i} b_{n-i}. $$

В этом выражении мне не нравится, что при увеличении $n$ становится больше членов в сумме. К примеру выражение

$$ A_n = \sum_{i=0}^{n} a_{i} $$

можно переписать в виде

$$A_n - A_{n-1} = a_n,$$

можно ли составить подобное реккурентное соотношение для $c_n$?

[slavav]

1. Что вы называете рекуррентным соотношением?
2. Вычислите $c_n - c_{n-1}$.

[arseniiv]

Подпорчу немного ситуацию.

DLL в сообщении #1207549 писал(а):

Рассмотрим реккурентное соотношение

$$ c_n = \sum_{i=0}^{n} a_{i} b_{n-i}. $$

Это не рекуррентное соотношение, к сожалению. (Точнее, формально, конечно, оно будет и рекуррентным соотношением, и разностным уравнением, и даже, может, интегро-дифференциальным, но зачем?)

Это выражение, понятное дело, выражает то, что $(a_i)$ — свёртка $(b_i)$ и $(c_i)$. Если взять преобразования Фурье (когда они есть) $A, B, C\colon S^1\to\mathbb C$ этих последовательностей, свёртка преобразится в умножение: $A = cBC$, где $c$ — какое-то число, зависящее от определения преобразования Фурье. Но $A, B, C$ сами не последовательности, да и вряд ли вы искали такое. (Хотя можно использовать дискретное преобразование Фурье из последовательностей какой-то конечной длины в них же, если в $(b_i), (c_i)$ с какого-то места вправо идут одни нули. Подобным образом используется БПФ для умножения многочленов громадных степеней).

Но вообще если бы у вас последовательности, если их понимать как бесконечные в обе стороны (для преобразования Фурье придётся), то конечное число членов в сумме всего лишь из-за того, что все члены с отрицательными индексами в них нулевые. Для бесконечных в обе стороны последовательностей сумма в определении свёртки идёт по всем целым числам.

[DLL]

Да, бесспорно это свертка. Но в сумме с ростом $n$ количество членов (в правой части) возрастает и ведет себя нелокально поскольку использует все члены последовательности $a$ от нулевого до $n$.
Можно ли как-то переписать (эквивалентным образом) через конечное число членов?
В частности, я привел элементарный пример с суммой членов от 1 до $n$. Там при помощи новой последовательности $A_n$ задачу можно сделать локальной.
Возможно ли что-то подобное сделать для свертки?