2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение03.04.2017, 21:12 


30/03/17
6
Подскажите, как решить такую задачу:
Пусть $n,\bar{X}, S^2$ - соответственно объем, выборочные средние и дисперсия выборки из нормального распределения $N(\theta_1,\theta_2^2)$ (оба параметра неизвестны).

Указание: установить, что случайная величина $\bar{X} - X_{n+1}$ распределена по закону $N(0,\dfrac{n+1}{n}\theta_2^2)$

То, что среднее равно 0 для меня понятно, т.к.
$\bar{X}=\dfrac{1}{n}(X_1 - X_2 + X_2 - X_3 + X_3 - X_4 ....)$

но как прийти к формуле дисперсии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение03.04.2017, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
alexj в сообщении #1206319 писал(а):
То, что среднее равно 0 для меня понятно, т.к.
$\bar{X}=\dfrac{1}{n}(X_1 - X_2 + X_2 - X_3 + X_3 - X_4 ....)$

Вы уверены в цитированном тождестве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение03.04.2017, 22:37 


30/03/17
6
Brukvalub в сообщении #1206329 писал(а):
alexj в сообщении #1206319 писал(а):
То, что среднее равно 0 для меня понятно, т.к.
$\bar{X}=\dfrac{1}{n}(X_1 - X_2 + X_2 - X_3 + X_3 - X_4 ....)$

Вы уверены в цитированном тождестве?

нет, не уверен,
это больше собственное предположение, чем цитата
кажется логичным

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение03.04.2017, 22:41 


20/03/14
12041
alexj
Не кажется. Что такое $\bar X$ и чему оно равно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение03.04.2017, 22:50 


30/03/17
6
Lia в сообщении #1206342 писал(а):
alexj
Не кажется. Что такое $\bar X$ и чему оно равно?


$\bar X$ это выборочное среднее, может не правильно выбрал обозначение,
имел ввиду формулу для расчета первого параметра $N$, равного 0
правильнее, наверно, обозначить его $\mu=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_n-X_{n+1})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение03.04.2017, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
alexj в сообщении #1206344 писал(а):
правильнее, наверно, обозначить его $\mu=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_n-X_{n+1})$

Странно, что индекс суммирования никак не появляется в слагаемых...Может, так и было задумано, но тогда это коварный замысел!

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение03.04.2017, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Формально говоря, не определено, что такое $X_k$, а уж тем более -- $X_{n+1}$, если объем выборки равен $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение04.04.2017, 04:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
alexj в сообщении #1206344 писал(а):
имел ввиду формулу для расчета первого параметра $N$, равного 0
правильнее, наверно, обозначить его $\mu=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_n-X_{n+1})$


Вы что-нибудь слышали о математическом ожидании случайной величины? Первый параметр нормального распределения - это его математическое ожидание. Оно число. Тогда как $X_1$, $X_i$, $X_{n+1}$, $\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_n-X_{n+1})$ суть случайные величины. Причём с абсолютно непрерывным распределением, так что равняться этому (или любому иному) числу могут лишь с нулевой вероятностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение04.04.2017, 19:45 


30/03/17
6
Приведу текст задачи полностью, возможно мой вопрос вырван из контекста.
16.102 (Прогнозирование будущих наблюдений). Пусть $n,\bar{X}, S^2$ - соответственно объем, выборочные средние и дисперсия выборки из нормального распределения $N(\theta_1,\theta_2^2)$ (оба параметра неизвестны). Доказать, что с вероятностью $\gamma$ результат следующего $(n+1)$-го испытания $X_{n+1}$ попадет в следующий интервал:
$(\overline{X}\pm$t_{(1+\gamma)/2,n-1}S$\sqrt{(n+1)/(n-1)})$.
УКАЗАНИЕ: Установить сначала, что случайная величина $\bar{X} - X_{n+1}$ распределена по закону $N(0,\dfrac{n+1}{n}\theta_2^2)$; воспользоваться теоремой Фишера и определением распределения Стьюдента

учеб. пособие для вузов/ В. А. Ватутин, Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев и др. 2005г.


Как же установить, что случайная величина распределена по закону $N(0,\dfrac{n+1}{n}\theta_2^2)$?
Вторая часть задачи мне понятна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение04.04.2017, 19:52 


20/03/14
12041
alexj в сообщении #1206532 писал(а):
Как же установить, что случайная величина распределена по закону $N(0,\dfrac{n+1}{n}\theta_2^2)$?

Непосредственно из определения выборочного среднего и свойств суммы нормальных распределений.
(Выборка, судя по всему, подразумевается независимой.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение04.04.2017, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Lia в сообщении #1206535 писал(а):
(Выборка, судя по всему, подразумевается независимой.)

Так выборка всегда считается набором независимых одинаково распределенных с.в., так что это можно не оговаривать специально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение06.04.2017, 20:46 


30/03/17
6
Получается отдельно для $\bar{X}$ будет распределение $N(\theta_1,\frac{\theta_2^2}{n})$
а для $X_{n+1}$ будет $N(\theta_1,\theta_2^2)$, т.к. оно из той же выборки

А для $\bar{X} - X_{n+1}$ будет $N(\theta_1,\frac{\theta_2^2}{n}) - N(\theta_1,\theta_2^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение06.04.2017, 20:51 


20/03/14
12041
Ну Вы закончите уж.

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение06.04.2017, 21:39 


30/03/17
6
Lia в сообщении #1207081 писал(а):
Ну Вы закончите уж.

Да, задумался, не сразу понял почему при сложении независимых случайных величин их дисперсии складываются.
alexj в сообщении #1207080 писал(а):
А для $\bar{X} - X_{n+1}$ будет $N(\theta_1,\frac{\theta_2^2}{n}) - N(\theta_1,\theta_2^2)$

$N(\theta_1-\theta_1,\frac{\theta_2^2}{n}+\theta_2^2)$

$N(0,\dfrac{(n+1)}{n}\theta_2^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Установить закон распределения для случайной величины
Сообщение07.04.2017, 05:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
alexj в сообщении #1207103 писал(а):
Да, задумался, не сразу понял почему при сложении независимых случайных величин их дисперсии складываются.

Как минимум, потому, что дисперсия отрицательной быть не желает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group