2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Римановы поверхности
Сообщение02.04.2017, 20:21 


10/09/12
52
Доброго времени суток!
Возник вопрос: правильно ли представляю риманову поверхность для функции $f(z)=\sqrt{z}+\sqrt{z-1}$?
Три точки ветвления, все второго порядка (для бесконечности $f\Big(\frac{1}{t}\Big)=\frac{\sqrt{t}+\sqrt{t-1}}{\sqrt{t}}$). На рисунке склеены берега разрезов одинакового цвета.
Изображение
На следующем рисунке: $w_1$ -- точка ветвления второго порядка, $w_2$ -- второго порядка, $w_1$ -- третьего порядка. Так ли это?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение02.04.2017, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Почему три точки ветвления?
Функция голоморфна в комплексной плоскости с разрезами $S=\mathbb{C}\setminus\Bigl((-\infty;0]\cup[1;+\infty)\Bigr)$. Соответственно, риманова поверхность будет склеена из счетного числа экземпляров $S$. Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение02.04.2017, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
alcoholist в сообщении #1206049 писал(а):
Соответственно, риманова поверхность будет склеена из счетного числа экземпляров $S$. Разве не так?
Не так. Риманова поверхность этой функции получается склейкой по разрезам 4-х экземпляров разрезанной комплексной плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение04.04.2017, 12:38 


10/09/12
52
Brukvalub

Не понимаю как можно организовать разрезы на 4-х поверхностях. Если склеить две пары, то исключится возможность перехода с одной пары на другую.
Имеете в виду, провести по три разреза на каждой плоскости и по-хитрому склеить?

На рисунке точки $w_1$, $w_2$, $w_3$ соответствуют точкам 0, 1, $\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение04.04.2017, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
На бесконечности никакой точки ветвления нет. Достаточно одного разреза от $0$ до $1$ (и, соответственно, экземпляров $\mathbb C$ только два).

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение04.04.2017, 16:31 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
g______d, Вы ошибаетесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение04.04.2017, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
g______d в сообщении #1206473 писал(а):
На бесконечности никакой точки ветвления нет. Достаточно одного разреза от $0$ до $1$ (и, соответственно, экземпляров $\mathbb C$ только два).

Например, в точке $2$ рассматриваемая функция имеет $4$ разных значения. Не понимаю, как их разместить на двух листах? :shock:

-- Вт апр 04, 2017 17:19:43 --

g______d в сообщении #1206473 писал(а):
На бесконечности никакой точки ветвления нет.

В кольце $1<|z|<\infty$ данная функция распадается на две аналитические ветви, и каждая ветвь в бесконечности имеет алгебраическую точку ветвления второго порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение04.04.2017, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Нам нужен какой-то разрез, который не дает обходить вокруг $0$ и $1$. Например, по каким-нибудь прямым ($A$ и $B$) из бесконечности в эти точки. Дальше склеиваем $4$ экземпляра плоскости: по разрезу $A$ склеиваем первый и второй, а также третий и четвертый, по разрезу $B$ - первый и третий, а также второй и четвертый.
При переходе через разрез $A$ меняется ветвь $\sqrt{z}$, через $B$ - $\sqrt{z - 1}$.

Не проврался? Если нет - то как "представить" получившуюся конструкцию, и можно ли обойтись "одним" разрезом, типа $(-\infty; 1]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение04.04.2017, 18:09 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
mihaild
Да все хорошо. А "один" разрез - ничуть не лучше.
Для двух разрезов: кажный из четырех экземпляров - сфера с двумя дырками.
Коррекция (после картинки ТС): фиг Нам, не с двумя, а с одним большим дыром, граница которого - из четырех отрезков.
Блин, все - не так....

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение04.04.2017, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Спасибо, кажется, я проврался. Прошу прощения.

-- Вт, 04 апр 2017 08:15:22 --

Действительно, нужно как минимум четыре листа, поскольку соответствующая кривая четвёртой степени. Я перепутал ситуацию с функцией $\sqrt{z(z-1)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение04.04.2017, 19:09 


10/09/12
52
Brukvalub, спасибо! Действительно, в точке $z=2$ четыре значения, значит 4 листа должно быть.
Склеил) вот что получилось:
Изображение
На этот раз бесконечность не стал передвигать.

А как со второй картинкой? Вроде может послужить моделью римановой поверхности, но точка, например, $w_1$ будет ли называться точкой ветвления второго порядка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение04.04.2017, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Pallant в сообщении #1206517 писал(а):
А как со второй картинкой?

Я вторую картинку не понимаю, поэтому комментировать не могу. Для чего она нарисована, какой функции соответствует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение04.04.2017, 20:17 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Про картинку: если аккуратно сложить - по цветам из нее - сфера будет, однако.
Что вполне соответствует выкладкам:
$w=\sqrt{z}+ \sqrt{z-1} \Leftrightarrow w^2=2z-1 +2\sqrt{z^2-z}\Leftrightarrow$
$(w^2 -(2z-1))^2 = 4(z^2-z) \Leftrightarrow w^4-2w^2(2z-1) +1=0 \Leftrightarrow$
$z=\frac{1}{2}\cdot (1+\frac{w^4 +1}{2w^2})$
Т.е., $w$ - параметр на РП, сфера это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение04.04.2017, 21:05 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Pallant
Можно так ещё описать склейку. Проведём 3 разреза (для симметрии) между всеми парами точек ветвления, по вещественной оси. Склеиваем 4 верхних полуплоскости $a, b, c, d$ $(\operatorname{Im}z>0)$ и 4 нижних $e,f,g,h$ $(\operatorname{Im}z<0)$, как на картинке:
Изображение

Или так. Возьмём куб с вершинами в точках $x=\pm 1, y=\pm 1, z=\pm 1$. Красим вершины в красный и синий цвет в шахматном порядке. Красные вершины — верхние полуплоскости, синие — нижние полуплоскости.
Выберем какую-либо вершину.
Пересекая вещественную ось между 0 и 1, прыгаем в вершину с противоположным знаком $x$.
Пересекая вещественную ось между 1 и $\infty$, прыгаем в вершину с противоположным знаком $y$.
Пересекая вещественную ось между $\infty$ и $0$, прыгаем в вершину с противоположным знаком $z$.

А можно сопоставить экземпляры полуплоскостей граням октаэдра, они склеиваются по рёбрам, а вершины — точки ветвления.
А можно — восьмушкам сферы, как DeBill говорит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Римановы поверхности
Сообщение04.04.2017, 21:13 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Pallant
Имеется какая-то путаница: на картинке, $w_i$- это ВЕТВИ Вашей многозначной функции, а Вы говорите про
Pallant в сообщении #1206517 писал(а):
точка, например, $w_1$

Далее, про точки ветвления и их порядок: не совсем корректно говорить о порядке точки ветвления всей аналитической функции: фишка в том, что разные её ветви, в одной и той же точке, могут иметь разный порядок ветвления. Посмотрите, например, весьма показательный в этом плане пример 5 г.3 параграф 5 из книжки Шабат, ВВедение в комплексный анализ.
О Вашей функции: в окрестности каждой из трех точек $0,1,\infty$, Ваша функция распадается на пару ветвей, для каждой из которых эта точка является таки точкой ветвления второго порядка. Так что, в некотором смысле, эти три точки - "двойные " точки ветвления...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group