2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Очередная тема, где я буду задавать вопросы по терминологии.

Вопрос № 1. Насколько я понял из общения с англоязычным гуглом, подмножество $\mathbb R$ называется дискретным, если оно дискретно как подпространство $\mathbb R$. Другими словами, множество дискретно, если каждая его точка изолирована, или, что то же самое, если для каждой его точки можно указать предыдущую и следующую при естественном отношении порядка.

Этому условию удовлетворяют многие множества - например, множество $\{1/n | n \in \mathbb N\}$. Я хочу ввести более жесткое условие: чтобы существовало такое $\rho>0$, что любые два различных элемента множества находятся друг к другу не ближе чем на расстоянии $\rho$ (условие, которое выполняется, к примеру, для $\mathbb Z$). Такое множество как-нибудь называется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):
множество дискретно, если каждая его точка изолирована
Да.
Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):
или, что то же самое, если для каждой его точки можно указать предыдущую и следующую при естественном отношении порядка.
Нет.

Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):
Я хочу ввести более жесткое условие: чтобы существовало такое $\rho>0$, что любые два различных элемента множества находятся друг к другу не ближе чем на расстоянии $\rho$ (условие, которое выполняется, к примеру, для $\mathbb Z$). Такое множество как-нибудь называется?
Не встречал, но сам назвал бы равномерно дискретным.
Тем не менее, нужно помнить, что расстояние не является топологическим инвариантом, поэтому при переходе к эквивалентной метрике это свойство может нарушиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Someone в сообщении #1205997 писал(а):
Нет.
Так, это уже интересно. В какую сторону думать, чтобы найти контрпример?
Someone в сообщении #1205997 писал(а):
нужно помнить, что расстояние не является топологическим инвариантом
Это я, разумеется, помню. Но в данной теме меня интересует исследование числовой прямой с канонической топологией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 19:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Anton_Peplov в сообщении #1206002 писал(а):
В какую сторону думать, чтобы найти контрпример?

В ту, что среди привычных числовых множеств есть не только $\mathbb Z$, которое Вы упоминали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Anton_Peplov в сообщении #1206002 писал(а):
с канонической топологией
А не с канонической метрикой?

Anton_Peplov в сообщении #1206002 писал(а):
В какую сторону думать, чтобы найти контрпример?
Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):
множество $\{1/n | n \in \mathbb N\}$
Добавьте к этому множеству ещё одну точку так, чтобы она была изолированной, не последней, и чтобы для неё не было непосредственно следующей.

Это, кстати, пример того, что топология подпространства линейно упорядоченного пространства может не совпадать с топологией, порождённой индуцированным порядком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Someone в сообщении #1206008 писал(а):
чтобы для неё не было непосредственно следующей.

Еще можно добавить некоторое множество точек, чтобы для неё не было и непосредственно предыдущей точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Someone в сообщении #1206008 писал(а):
А не с канонической метрикой?
Да, с канонической метрикой. Метрики, эквивалентные канонической, но не совпадающие с ней, меня в данном случае тоже не интересуют.
Someone в сообщении #1206008 писал(а):
Добавьте к этому множеству ещё одну точку так, чтобы она была изолированной, не последней, и чтобы для неё не было непосредственно следующей.
Эээ... Я об этом, пожалуй, утром подумаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 19:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ещё лучше вспомнить, какие ещё бывают множества с удвоенными чёрточками, кроме $\mathbb Z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
ewert в сообщении #1206013 писал(а):
Ещё лучше вспомнить, какие ещё бывают множества с удвоенными чёрточками, кроме $\mathbb Z$.
Я знаю только $\mathbb N$, $\mathbb Q$ и $\mathbb I$. В первом соседние числа всегда можно указать (ну, у единицы нет предыдущего, но и только), остальные два не дискретны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Anton_Peplov в сообщении #1206012 писал(а):
Эээ... Я об этом, пожалуй, утром подумаю.

А шо там думать. Надо лишь попробовать найти первую точку в указанном уже множестве
Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):
$\{1/n | n \in \mathbb N\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 20:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Anton_Peplov в сообщении #1206015 писал(а):
ну, у единицы нет предыдущего, но и только

этого что, мало?

Ведь опровергавшееся утверждение состояло в том, что

Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):
для каждой его точки можно указать предыдущую и следующую

"И", заметьте!

Кстати, насчёт терминологии. Не уверен, что для дискретности всегда и везде необходимым требованием является бесконечность. Скажем, дискретный спектр -- он такой потому (в частности), что образует дискретное множество, но при этом вовсе не обязательно бесконечное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
ewert в сообщении #1206017 писал(а):
"И", заметьте!
Ну так и знал, что Вы с этим буквоедством прицепитесь. Специально для Вас уточняю: точку, следующую за точкой $a$, можно указать, если $a$ не является верхней гранью всего множества. Точку, предыдущую к точке $a$, можно указать, если $a$ не является нижней гранью всего множества.

Dan B-Yallay в сообщении #1206016 писал(а):
Надо лишь попробовать найти первую точку в указанном уже множестве
Так. Ага. Понял, о чем речь. Если добавим точку $-1$, то она будет изолированной, но следующей за ней не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Anton_Peplov в сообщении #1206024 писал(а):
Так. Ага. Понял, о чем речь. Если добавим точку $-1$, то она будет изолированной, но следующей за ней не будет.

Абсолютно верно. При добавлении этой точки, новое множество остаётся дискретным. Также можно добавить аналогичную последовательность, сходящуюся к $-2$ снизу. Тогда в полученном множестве у точки $-1$ нет ни предыдущей, ни последующей. Но это еще не всё. Подобный трюк можно проделать по отношению ко всем точкам из первоначальной и добавленной последовательности. Чисто для того, чтобы имелось бесконечно много таких точек.

-- Вс апр 02, 2017 11:26:52 --

А потом и для точек на втором шаге и так до потери пульса.

-- Вс апр 02, 2017 11:55:47 --

С потерей пульса я переборщил. Чтобы множество оставалось дискретным, на каком-то конечном шаге надо остановиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение02.04.2017, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):
Я хочу ввести более жесткое условие

кажется, такие множества называются $\rho$-разделенными

 Профиль  
                  
 
 Re: Терминология в вещественном анализе
Сообщение03.04.2017, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Anton_Peplov в сообщении #1206015 писал(а):
ewert в сообщении #1206013 писал(а):
Ещё лучше вспомнить, какие ещё бывают множества с удвоенными чёрточками, кроме $\mathbb Z$.
Я знаю только $\mathbb N$, $\mathbb Q$ и $\mathbb I$. В первом соседние числа всегда можно указать (ну, у единицы нет предыдущего, но и только), остальные два не дискретны.

Легко проредить множество $\mathbb{Q} \bigcap (0, 1)$ так, чтобы оно стало дискретным, но при этом осталось бесконечным и сохранило свойство "ни для одной точки множества нельзя указать ни следующую, ни предыдущую".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group