2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение16.04.2017, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4575
Dan B-Yallay в сообщении #1209907 писал(а):
По-моему вторая цитата перечеркивает все надежды на доказательство желаемого первого утверждения.
Ха, а ведь верно. Это же контрпример к основному утверждению. Возьмем функцию
$$f(x) = \begin{cases}
0,&\text{если $x\ne c$;}\\
1,&\text{если $x=c$}
\end{cases}$$
Для нее средняя скорость изменения на любом отрезке, для которого точка $c$ внутренняя, равна нулю, однако же в точке $c$ разрыв. Получается, что производную все-таки нельзя определять как предел средней скорости по такому отрезку. Интуиция, воспитанная непрерывными функциями, подводит.

-- 16.04.2017, 18:16 --

Munin в сообщении #1209909 писал(а):
А почему вы углублённые вопросы задаёте в темах "наивные вопросы"?
Да бросьте, какие они углубленные. Вполне наивные. До углубленных мне расти и расти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение16.04.2017, 18:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62593
При первом чтении начального учебника - таких вопросов в таких формулировках не возникает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение16.04.2017, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4575
Слово "наивные" скорее отражает мое субъективное ощущение, что я озираюсь по сторонам, хлопаю варежкой и пытаюсь понять, что происходит, чем какое-то объективное качество этих вопросов. Не надо пытаться приписать точный смысл этому литературному обороту. Ну и не будем развивать оффтоп в ПРР, у меня, думаю, в этой теме будет еще немало вопросов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение17.04.2017, 01:03 


26/05/14
375
Anton_Peplov, к утверждению о средней скорости нужно добавить непрерывность $f$ в точке $c$. Тогда можно доказывать что производная существует и равна пределу средних скоростей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение17.04.2017, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4575
Да, это я уже понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение18.04.2017, 13:28 
Заслуженный участник


11/05/08
31000
Я когда-то доказывал наличие дифференцируемости (при условии непрерывности в точке $c$) примерно так.
$$\frac{f(b_k)-f(c)}{b_k-c}=\frac{f(b_k)-f(a_k)+(f(a_k)-f(c))}{b_k-a_k+(a_k-c)}=\frac{f(b_k)-f(a_k)}{b_k-a_k}\,\cdot\,\frac{b_k-a_k}{b_k-c}+\frac{f(a_k)-f(c)}{b_k-c}.$$
Для произвольной $b_k\to c+0$ подберём такую $a_k\to c-0$, что в последнем выражении третья дробь стремится к нулю (этого можно добиться в силу непрерывности в точке $c$), а вторая -- к единице (это вообще банальность). Тогда получится, что для этой пары последовательностей
$$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(b_k)-f(c)}{b_k-c}=1\cdot\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(b_k)-f(a_k)}{b_k-a_k}+0.$$
Устранимость разрыва (если он есть) меня не интересовала, но эта устранимость довольно очевидна. Если нет предела, например, слева, то по некоторой последовательности $a_k\to c-0$ будет $|f(a_{2k+1})-f(a_{2k})|>\varepsilon$. И при этом для любой $b_k\to c+0$ выполняется $f(b_{2k})-f(a_{2k})\to0$. Но тогда $\left|\frac{f(b_{2k})-f(a_{2k+1})}{b_{2k}-a_{2k+1}}\right|\to\infty$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group