2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение16.04.2017, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4144
Dan B-Yallay в сообщении #1209907 писал(а):
По-моему вторая цитата перечеркивает все надежды на доказательство желаемого первого утверждения.
Ха, а ведь верно. Это же контрпример к основному утверждению. Возьмем функцию
$$f(x) = \begin{cases}
0,&\text{если $x\ne c$;}\\
1,&\text{если $x=c$}
\end{cases}$$
Для нее средняя скорость изменения на любом отрезке, для которого точка $c$ внутренняя, равна нулю, однако же в точке $c$ разрыв. Получается, что производную все-таки нельзя определять как предел средней скорости по такому отрезку. Интуиция, воспитанная непрерывными функциями, подводит.

-- 16.04.2017, 18:16 --

Munin в сообщении #1209909 писал(а):
А почему вы углублённые вопросы задаёте в темах "наивные вопросы"?
Да бросьте, какие они углубленные. Вполне наивные. До углубленных мне расти и расти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение16.04.2017, 18:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
При первом чтении начального учебника - таких вопросов в таких формулировках не возникает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение16.04.2017, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4144
Слово "наивные" скорее отражает мое субъективное ощущение, что я озираюсь по сторонам, хлопаю варежкой и пытаюсь понять, что происходит, чем какое-то объективное качество этих вопросов. Не надо пытаться приписать точный смысл этому литературному обороту. Ну и не будем развивать оффтоп в ПРР, у меня, думаю, в этой теме будет еще немало вопросов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение17.04.2017, 01:03 


26/05/14
368
Anton_Peplov, к утверждению о средней скорости нужно добавить непрерывность $f$ в точке $c$. Тогда можно доказывать что производная существует и равна пределу средних скоростей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение17.04.2017, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4144
Да, это я уже понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о производной
Сообщение18.04.2017, 13:28 
Заслуженный участник


11/05/08
30754
Я когда-то доказывал наличие дифференцируемости (при условии непрерывности в точке $c$) примерно так.
$$\frac{f(b_k)-f(c)}{b_k-c}=\frac{f(b_k)-f(a_k)+(f(a_k)-f(c))}{b_k-a_k+(a_k-c)}=\frac{f(b_k)-f(a_k)}{b_k-a_k}\,\cdot\,\frac{b_k-a_k}{b_k-c}+\frac{f(a_k)-f(c)}{b_k-c}.$$
Для произвольной $b_k\to c+0$ подберём такую $a_k\to c-0$, что в последнем выражении третья дробь стремится к нулю (этого можно добиться в силу непрерывности в точке $c$), а вторая -- к единице (это вообще банальность). Тогда получится, что для этой пары последовательностей
$$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(b_k)-f(c)}{b_k-c}=1\cdot\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(b_k)-f(a_k)}{b_k-a_k}+0.$$
Устранимость разрыва (если он есть) меня не интересовала, но эта устранимость довольно очевидна. Если нет предела, например, слева, то по некоторой последовательности $a_k\to c-0$ будет $|f(a_{2k+1})-f(a_{2k})|>\varepsilon$. И при этом для любой $b_k\to c+0$ выполняется $f(b_{2k})-f(a_{2k})\to0$. Но тогда $\left|\frac{f(b_{2k})-f(a_{2k+1})}{b_{2k}-a_{2k+1}}\right|\to\infty$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group