2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение31.03.2017, 00:36 


04/11/15
10
При замене переменной в неопределенном интеграле нельзя ставить знак равенства между получившейся первообразной и исходным интегралом (только знак включения). Почему?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение31.03.2017, 11:54 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение31.03.2017, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Homa в сообщении #1205119 писал(а):
При замене переменной в неопределенном интеграле нельзя ставить знак равенства между получившейся первообразной и исходным интегралом (только знак включения).

А где такое написано? Дайте точную ссылку (библиографическую).

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение31.03.2017, 16:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Homa в сообщении #1205119 писал(а):
При замене переменной в неопределенном интеграле нельзя ставить знак равенства между получившейся первообразной и исходным интегралом (только знак включения). Почему?

Потому, что первообразная и неопределенный интеграл - разные понятия. Стандартно: первообразная - это элемент множества всех первообразных исходной функции на заданном промежутке, а само такое множество всех первообразных и называется неопределенным интегралом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение31.03.2017, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я вот жду, что мне покажут учебник, в котором выкладки проводятся с использованием знака включения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение31.03.2017, 16:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Brukvalub в сообщении #1205319 писал(а):
Потому, что первообразная и неопределенный интеграл - разные понятия.

Но записывать это общепринято всё же без значков включения.

Мне другое непонятно: при чём тут замена переменной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение31.03.2017, 16:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ewert в сообщении #1205336 писал(а):
Но записывать это общепринято всё же без значков включения.

Согласен. Я увидел ситуацию так: придирчивый препод, чтобы студенты усвоили разницу между первообразной и неопределенным интегралом, потребовал на занятиях писАть именно знак включения. Студент удивился и спросил здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение02.04.2017, 15:17 


04/11/15
10
Я понимаю, что первообразная и неопределенный интеграл - это разные понятия. Попробую объяснить, что я хочу узнать. Например, есть интеграл $\int\limits_{}^{}\frac{dx}{1+\cos^2x}$. Решаю с помощью замены $\tg x = t$, получаю одну из первообразных $\frac{1}{\sqrt{2}}\arctg \frac{t}{\sqrt{2}}$.
Но я не могу просто сделать обратную замену и сказать, что $\frac{1}{\sqrt{2}}\arctg \frac{\tg x}{\sqrt{2}}$ - это первообразная исходной положительной подынтегральной функции, т.к. эта первообразная не строго возрастающая, а периодическая функция. Т.е. получили неравносильность при замене.
В этом примере неравносильность возникла из-за разных областей определения x и t. А если области определения одинаковы, будет ли замена давать равносильный результат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение02.04.2017, 15:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Homa в сообщении #1205932 писал(а):
Но я не могу просто сделать обратную замену и сказать, что $\frac{1}{\sqrt{2}}\arctg \frac{\tg x}{\sqrt{2}}$ - это первообразная исходной положительной подынтегральной функции, т.к. эта первообразная не строго возрастающая, а периодическая функция.

Она периодическая только если не добавлять к ней констант. Но в таком случае она разрывна, т.е. это не первообразная. А вот если подобавлять к ней на разных участках разные константы, согласованные друг с дружкой -- так, чтобы добиться непрерывности -- то она окажется вполне себе монотонной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение02.04.2017, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Так объясните, где ставят знак включения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение02.04.2017, 16:59 


04/11/15
10
ewert в сообщении #1205933 писал(а):
Она периодическая только если не добавлять к ней констант. Но в таком случае она разрывна, т.е. это не первообразная. А вот если подобавлять к ней на разных участках разные константы, согласованные друг с дружкой -- так, чтобы добиться непрерывности -- то она окажется вполне себе монотонной.

Да, и помимо добавления согласованных констант в точках разрыва нужно доопределять новую функцию по непрерывности. Значит, что с полученной первообразной для интеграла $\int\limits_{}^{}\frac{dt}{t^2+2}$ нужно ещё поработать, чтобы получить первообразную для начальной функции.

-- 02.04.2017, 17:04 --

Munin в сообщении #1205944 писал(а):
Так объясните, где ставят знак включения?


Знак включения мы ставим после замены переменной, вот так:
$\int\limits_{}^{}\frac{dt}{t^2+2}\in\int\limits_{}^{}\frac{dx}{1+\cos^2 x} $
Если области определения x и t разные, то понятно, что может возникнуть ситуация как в примере и знак равенства ставить нельзя. А если области определения совпадают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение02.04.2017, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Homa в сообщении #1205965 писал(а):
Знак включения мы ставим после замены переменной

"Мы" - это кто? В каком вузе? Кто преподаватель?

Потому что на самом деле, так никто не делает. Вас кто-то обманул.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение02.04.2017, 17:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Homa в сообщении #1205965 писал(а):
Знак включения мы ставим после замены переменной, вот так:
$\int\limits_{}^{}\frac{dt}{t^2+2}\in\int\limits_{}^{}\frac{dx}{1+\cos^2 x} $

Тогда это неверно как минимум по двум причинам. Во-первых, не "$\in$", а "$\subset$". Во-вторых, неверно даже и последнее: именно потому, что области определения различны -- множества соответствующих функций попросту не сравнимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение02.04.2017, 17:30 
Аватара пользователя


20/03/12
139
Homa в сообщении #1205932 писал(а):
В этом примере неравносильность возникла из-за разных областей определения x и t.

А мне кажется, что просто из-за того, что сама замена "плохая": $\tg x$ разрывна в некоторых точках оси, поэтому на всей оси сразу первообразную получить с ее помощью нельзя, только на каждом отдельном промежутке между соседними точками разрыва тангенса (а там уже корректировать так, как сказал ewert).

Если Вам нужно найти первообразную функции на некотором промежутке и Вы делаете замену, которая определена и дифференцируема везде на этом промежутке, то, вроде, все должно быть хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в неопределенном интеграле
Сообщение02.04.2017, 17:40 


04/11/15
10
Munin в сообщении #1205968 писал(а):
"Мы" - это кто? В каком вузе? Кто преподаватель?

СПбГУ, фамилию преподавателя называть не буду, преподаватель авторитетный.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group