Мощность множества всех измеримых по Лебегу подмножеств

[ikozyrev]

Здравствуйте!
Решаю задачку:
Доказать, что мощность множества всех измеримых по Лебегу подмножеств отрезка $[0,1]$ больше континуума.

Пытаюсь адаптировать для этого Теорему Кантора:
Обозначим множество всех измеримых по Лебегу подмножеств отрезка $[0,1]$ - $A$.
Предположим, что это множество имеет мощность континнума, то есть, что существует такая биекция $f$, ставящая в соответствие каждому элементу множества $[0,1]$ некоторое подмножество множества $A$.
Тогда Рассмотрим множество $B$, состоящее из всех элементов $x \in [0,1]$, не принадлежащих своим образам при отображении $f$.
$f$ биективно, а $B \subset [0,1]$, поэтому существует $y\in [0,1]$ такой, что $f(y)=B$.
Теперь посмотрим, может ли $y$ принадлежать $B$.
Если $y\in B$, то $ y\in f(y)$, а тогда, по определению $B$, $y \notin B$.
И наоборот, если $ y\notin B$, то $y \notin f(y)$, а следовательно, $y \in B$. В любом случае, получаем противоречие.
Следовательно, исходное предположение ложно и $[0,1]$ не равномощно $A$.

Но есть одна загвоздка - надо показать, что $B$ - существует и измеримо. Не могли бы подсказать как это сделать?

[mihailm]

Да не, берем континуальное множество меры нуль и все его подмножества

[Null]

$B$ существует в предположении что существует такая биекция $f$, ставящая в соответствие каждому элементу множества $[0,1]$ некоторое подмножество множества $A$. То что вы сделали делать можно. Но доказать что оно неизмеримо у вас вряд ли получиться.

[mihaild]

Тут лучше без доказательства от противного - просто явно построить $B$, которое не лежит в образе $f$.
Не очень понятен вопрос про существование - вы же явно построили множество, какие сомнения?
С измеримостью проблема - полученное множество может быть неизмеримо (возьмите функцию, которая отображает элементы какого-нибудь неизмеримого множества в не содержащие их подмножества, а остальные элементы - в одноэлементные множества из них самих).

Попробуйте лучше придумать континуальное множество, любое подмножество которого измеримо.

[ikozyrev]

mihailm в сообщении #1205052 писал(а):

Да не, берем континуальное множество меры нуль и все его подмножества

А как получить континуальное множество меры нуль из отрезка?
Просто взять каждый элемент из отрезка из них составить множество?

-- 30.03.2017, 22:49 --

А ну да, канторово множество же континуально и меры нуль. Спасибо за подсказку!

[Anton_Peplov]

А между прочим, нет ли такой теоремы, что минимальная сигма-алгебра над всеми одноточечными подмножествами $A$ мощнее самого $A$? Интуиция говорит, что должна быть.

[mihaild]

Нету, потому что счетные, конечные, ко-конечные и ко-счетные подмножества $A$ (которых для более чем счетных $A$ кажется столько же сколько элементов, по крайней мере для континуальных это точно так) все вместе образуют сигма-алгебру.