Рекурентное соотношение

[DLL]

Рекурентное соотношение

$$\left( v(i+2, j+1) - v(i+1, j+2) \right) + \left( v(i+1, j) - v(i, j+1) \right) + \left( v(i, j+2) - v(i+2, j) \right) = 0,$$

имеет очевидное решение

$$v = F(i+j) + C_1(i) + C_2(j).$$

Есть ли еще какие-то решения?

[svv]

Оно также удовлетворяется, если выполняется более простое рекуррентное соотношение

$$v_{i, j}-v_{i+1, j}-v_{i,j+1}+v_{i+1,j+1}=0\eqno{(0)}$$

Если в $(0)$ заменить $i$ на $i+1$, получим

$$v_{i+1, j}-v_{i+2, j}-v_{i+1,j+1}+v_{i+2,j+1}=0\eqno{(1)}$$

Если в $(0)$ заменить $j$ на $j+1$, получим

$$v_{i, j+1}-v_{i+1, j+1}-v_{i,j+2}+v_{i+1,j+2}=0\eqno{(2)}$$

Вычитая из уравнения $(1)$ уравнение $(2)$, получим Ваше.

-- Чт мар 30, 2017 15:33:54 --

UPD: это бесполезно, потому что решение будет даже менее общим, чем Ваше: $(0)$ — это разностный аналог $\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}v=0$.
А у Вас — аналог $\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial y}\right)v=0$

[svv]

Поэтому ответ — да, есть: $v_{i,j}=i\cdot j$.

[DLL]

$$2ij = (i+j)^2 - i^2 - j^2$$

[svv]

Вы правы.

(Del)