Поля остатков: пара вопросов начинающего

[Munin]

Это что, коллективное издевательство такое? Кто посложнее посоветует?

[tolstopuz]

Munin в сообщении #1205134 писал(а):

Это что, коллективное издевательство такое? Кто посложнее посоветует?

Она только на первый взгляд пугающая.

Цитата:

Как и в первой книге, основная аудитория, к которой мы обращаемся, состоит из студентов-математиков старших курсов и аспирантов. Мы предполагаем некоторое знакомство с материалом стандартного курса по абстрактной алгебре. Большую часть гл. 1 —11 можно читать даже без такой предварительной подготовки, используя небольшое количество дополнительного материала.

Если уж совсем страшно, возьмите Виноградова или "Высшую арифметику" Дэвенпорта - у них объяснение идет без абстрактной алгебры. Что-то прояснится, а если будет мало, потом пойдете глубже.

[Sonic86]

Munin в сообщении #1205134 писал(а):

Это что, коллективное издевательство такое? Кто посложнее посоветует?

Кто сложнее? Айрленд Роузен? Да Вам дальше 4-й главы пока не надо. Ну максимум до главы с конечными полями.

[Munin]

Уговорили на Айерленда-Роузена. Поскольку пять книжек параллельно я предпочитаю всё-таки не читать, сосредоточусь пока на нём.

[Narn]

Рискну все же упомянуть еще один источник, в формате MOOC. На курсере есть курс Екатерины Америк Introduction to Galois Theory, https://www.coursera.org/learn/galois. Конечные поля и расширения там довольно подробно разобраны в самом начале. На гитхабе лежит хороший конспект к курсу. Курсера будет весьма назойливо приставать с предложением купить сертификат, но это, слава богу, можно игнорировать --- все материалы курса доступны бесплатно.

[Munin]

Narn в сообщении #1205286 писал(а):

MOOC

Охоспади, а это шо такое?

-- 31.03.2017 15:59:04 --

И чего мне все суют Галуа? Галуа - это слишком страшное слово, я его заранее боюсь и обхожу подальше. Мне бы чё-нибудь простенькое...

-- 31.03.2017 16:03:01 --

P. S. Не нашёл, где там вообще можно хотя бы одно видео открыть, без регистрации.

[Sonic86]

(ГАЛУААААА!!!!!)

Munin в сообщении #1205315 писал(а):

И чего мне все суют Галуа? Галуа - это слишком страшное слово, я его заранее боюсь и обхожу подальше. Мне бы чё-нибудь простенькое...

"конечное поле" = "поле Галуа". Справа - страшное слово, а слева - нет. А Вы спрашивали про конечные поля. Вот и суют...
Тем более, что $\mathrm{GF}(p^n)=\mathbb{F}_{p^n}=\mathbb{Z}_p[x]/(f(x))$, где $f(x)$ - [любой] неприводимый многочлен степени $n$ над $\mathbb{Z}_p$.
Т.е. теорию Галуа Вам не предлагают - она тут не при чем.

[Munin]

(Оффтоп)

Спасибо! Но как минимум в одном месте мне теорию Галуа предлагают, увы.

[tolstopuz]

Narn в сообщении #1205286 писал(а):

На курсере есть курс Екатерины Америк Introduction to Galois Theory

Как человек, получивший за этот курс $99{,}3\%$, ответственно заявляю: без предварительного годового курса алгебры там делать нечего.

[Munin]

А можно ли строить эти конечные поля не через многочлены, а как-то по-другому? Вот линейные комбинации с $\sqrt{2}$ - это мне как-то ближе и не так пугает...

-- 31.03.2017 18:26:19 --

tolstopuz
Спасибо за информацию! Ну и тем лучше, минус одно название :-)

[kp9r4d]

Так $\sqrt{2}$ это всего-то такой элемент $t$, что $t^2=2$, мне кажется это должно быть не более и не менее интуитивнее, чем какой-нибудь элемент $q$ для которого, к примеру $q^2 = -q -1$. Факторизация по многочлену это и есть "присоединение корня", поэтому поле можно строить так: взять неприводимый многочлен $p(x)$ степени n, взять какой-нибудь его корень $x_0$ и взять линейные комбинации c $x_0,x_0^2,...,x_0^n$.

[vpb]

Насчет книги Айерлэнда-Роузена. Я думаю, что знакомиться по ней с конечными полями -- неправильно. Заметим, что теория чисел и алгебра тесно переплетены (как оно вообще в математике), но все-таки часто можно указать, что больше теория чисел, а что алгебра. Так вот, А-Р это по теории чисел, а алгебра там играет вспомогательную роль. Притом уже заранее предполагается некоторое знакомство с курсом алгебры. Но кое-что из алгебры они и сами доказывают. Но их доказательства -- это в основном скомканные, и оттого малопонятные (а то и просто недостаточные), версии рассуждений из книжек по алгебре. Конечные поля -- это сюжет почти целиком алгебраический. (Впрочем, заметим, что заметка Галуа, в которой они были введены, называлась "К вопросу из теории чисел", или что-то вроде того. Такая вот диалектика).
Притом этот сюжет в книжке аж в 7-й главе, значит придется читать 6 глав по теории чисел, совсем не тривиальных (в которых, заметим, тоже много замечательного, например оценка для $\pi(x)$, функции распределения простых. Да и вообще, как сказал Гаусс, математика --- царица наук, а арифметика -- царица математики).
Правда, при этом в качестве побочного результата со многими вещами из алгебры познакомитесь, но не лучше ли их в книгах по алгебре и читать? И притом, в первом же абзаце главы седьмой написано, что предполагается определенное знакомство с курсом алгебры в обьеме, больше чем в предыдущих главах. Называется, шли, шли, и пришли, откуда вышли ... Короче, для знакомства с конечными полями путь, практически геодезический, содержится в ван дер Вардене (главы 1--3, а затем некоторое подмножество в главах 4--6). Правда, там в гл.6 в одном месте с методической точки зрения не всё удачно, но это отдельный вопрос.

[Munin]

kp9r4d в сообщении #1205431 писал(а):

Так $\sqrt{2}$ это всего-то такой элемент $t$, что $t^2=2$, мне кажется это должно быть не более и не менее интуитивнее, чем какой-нибудь элемент $q$ для которого, к примеру $q^2 = -q -1$.

Как ни странно, менее интуитивно. То есть, умом я этого понять могу, но вот почувствовать кончиками пальцев - не так уж.

vpb
О хоспади, теперь я опять от Айерленда к ван дер Вардену мечусь... у вас у семи нянек дитя без глаза :-)

[AV_77]

Munin в сообщении #1205390 писал(а):

А можно ли строить эти конечные поля не через многочлены, а как-то по-другому?

Есть матричное представление.

[Munin]

О.

И есть оно без ссылок :-)