2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Btw, есть ещё лекции Вавилова по алгебре (которые вы сами же несколько раз упоминали), почему бы вам их не посмотреть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 16:21 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Ван дер Варден --- да, Алгебра. В принципе, вопрос не лишний, потому что он и по матстатистике писал, и по истории математики.

-- 30.03.2017, 16:10 --

А лекции Вавилова наиболее здоровЫ, думаю, для студентов Вавилова, которые с ним непосредственный контакт имеют. Для человека же не вполне в теме они могут оказаться даже вредны. Во всяком случае, очень уж они нетрадиционны. Вообще, есть такое наблюдение: чтоб плодотворно реализовывать нетривиальные педагогические идеи, и сам человек должен быть весьма неординарным (каковым Вавилов и является).

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
kp9r4d в сообщении #1204910 писал(а):
Любое поле можно расширить до поля, в котором любой многочлен будет распадаться на линейные множетели, это процедура алгебраического замыкания, правда алгебраическое замыкание конечного поля - всегда поле бесконечное.

Интересно! В перечисленных книгах (Лидл-Нидеррайтер и ван дер Варден) это есть?
Впрочем, после того, как стало ясно с квадратами, это уже "интуитивно ясно".
Осталось понять, интересны ли мне такие бесконечные поля, чтобы с ними тоже поиграть... :-)

vpb
vpb в сообщении #1204911 писал(а):
Ну вот, например, почему многочлен, с коэффициентами из поля, не может иметь больше корней, чем его степень.

Спасибо, кажется, я понял доказательство. Я правильно понимаю, что оно опирается на отсутствие делителей нуля, вот в этом пункте?

-- 30.03.2017 18:28:27 --

kp9r4d в сообщении #1204913 писал(а):
Btw, есть ещё лекции Вавилова по алгебре (которые вы сами же несколько раз упоминали), почему бы вам их не посмотреть?

Ага! Я попробовал! Как он начал вводить классификацию идеалов, так я и увяз!
Пока я понял из его лекций только одно: то, что в элементарной математике выражают как свойства отдельных элементов (делимость, простота, разложимость на множители), в суровой теории колец и полей выражают на языке свойств подколец и подполей. Но разобраться в этом пока пороху не хватает.

vpb в сообщении #1204915 писал(а):
Ван дер Варден --- да, Алгебра. В принципе, вопрос не лишний, потому что он и по матстатистике писал, и по истории математики.

Я просто там же нашёл его книгу "Современная алгебра" аж 1947 года издания - вряд ли то :-) И заманчивое название "Метод теории групп в квантовой механике" - впрочем, тоже вряд ли оно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Да везде есть, думаю. Есть ещё Винберг "Алгебра", сам по нему учился на первом курсе и знаю минимум двух человек, которые говорят, что учебник очень простой, доходчивый и понятный, а ещё и более современный (как минимум в том плане, что набран на Латехе и для глаза поэтому приятнее).

Ещё помню тут был пост с советами хороших 5-6 современных учебников по алгебре, разной степени простоты/сложности. Не прикрепленная, в которой ощущение, что есть названия всего, что смогли в gen.lib.rus.ec найти, а именно 5-6 хороших отобранных учебников; постараюсь сейчас вспомнить где это видел и кто этот пост писал.

А ещё, не мне вас учить как учиться, конечно, но я бы на вашем месте лекции из-за плохо запомненной классификации чего-то там не бросал. Сам Вавилов как раз придерживается той точки зрения, что в математике важна тональность, стиль, интенция, дух, чувство того, какие слова важные, а какие нет, то есть ощущение математики, как он говорил, на "мистическом уровне", а не на "фактическом". Поэтому - ну не запомнили какую-то классификацию, не поняли какой-то трюк в доказательстве - и ладно, запомните что-нибудь другое вместо этого. Вот например то, что утверждение о числах для $\mathbb{Z}$ можно по аналогии иногда переносить на утверждения о идеалах для любого коммутативного кольца - замечательная эвристика, очень хорошо, что вы её уловили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
kp9r4d в сообщении #1204990 писал(а):
Есть ещё Винберг "Алгебра"

Есть "Начала алгебры", есть "Курс алгебры", есть даже "Курс лекций по высшей алгебре" и "Лекции по алгебре. Первый курс, второй семестр" :-)
А просто "Алгебры" Либрусек не знает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Винберг "Курс алгебры", да.
Вот пост tolstopuz.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #1204971 писал(а):
Я просто там же нашёл его книгу "Современная алгебра" аж 1947 года издания - вряд ли то


Это название более старого издания "Алгебры".

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
kp9r4d в сообщении #1204990 писал(а):
но я бы на вашем месте лекции из-за плохо запомненной классификации чего-то там не бросал.

Если бы плохо запомненной! Хуже: плохо понятой. Не понятой вообще.
Лекции я бросать не собираюсь, но это место какое-то очень трудное. Или попробую его обойти, или вгрызаться... но это медленно.

kp9r4d в сообщении #1204990 писал(а):
утверждение о числах для $\mathbb{Z}$ можно по аналогии иногда переносить...

Там как раз проблема: школьные утверждения распадаются в иерархию вложенных систем, пользующихся и не пользующихся какими-то аксиомами, и для каждого утверждения надо заново выяснять, где оно справедливо, а где нет. И к тому же, запоминать массу новой информации. Многолетняя привычка легко и непринуждённо проводить выкладки над выражениями над $\mathbb{C}$ здесь как раз мешает: у $\mathbb{C}$ слишком много "хороших" свойств идут комплектом.

Ну, в общем, спасибо за сочувствие.

Я беру паузу на размышление и освоение книг. Пока мои вопросы отвечены. Да и вообще, мой интерес был мимолётным и неглубоким, увы.

-- 30.03.2017 19:32:41 --

kp9r4d в сообщении #1204996 писал(а):
Винберг "Курс алгебры", да.
Вот пост tolstopuz.

А, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 20:17 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Munin
Совершенно верно, Вы правильно поняли, что используется отсутствие делителей нуля. А насчет что в математике важны интенция и дух ... неважно, в общем, как там коллега Вавилова цитирует. Позвольте повториться: Вавилов -- человек достаточно уникальный, и записи лекций Вавилова без самого Вавилова не очень полезны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377

(Оффтоп)

А я вполне убеждён, что математика не ограничивается аккуратными решениями нетривиальных задач. Более того, это даже не самая интересная и не самая определяющая её часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 20:42 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Munin в сообщении #1204971 писал(а):
Интересно! В перечисленных книгах (Лидл-Нидеррайтер и ван дер Варден) это есть?

Лидл и Нидеррайтер только про конечные поля пишут, а все алгебраически замкнутые поля бесконечны. Так что там этого нет.

Ван дер Варден, конечно, уже несколько устарел, да и очень много готических символов использует. Еще очень не плохой учебник - С. Ленг, Алгебра. Из современных - Paolo Aluffi. Algrebra, Chapter 0. Правда это уже ближе к уровню аспирантуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 21:00 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Munin в сообщении #1204884 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1204847 писал(а):
Мне был трудноват, м.б. Вам легче будет.

Да вы все издеваетесь??? У меня мозги уже заскорузлые, мне что попроще бы! Сразу же сказал! Мой уровень - научно-популярные лекции Савватеева на YouTube.
Эээ, ну я думал, раз Вы тензоры асилили...
Ну возьмите Айрленда Роузена Классическое введение в современную теорию чисел, или Бухштаба. Ну или Кострикина 3-й том, правда его я не читал, не знаю, насколько там все сложно.

Munin в сообщении #1204895 писал(а):
Что-то я не понял. Вот у меня $\mathbb{Z}_5,$ квадратный корень, я проверяю $2\mid 5-1,$ выполняется, и получаю, что корень должен извлекаться. Но из 1 и 4 он извлекается, а из 2 и 3 - нет.
Да, я - лошара :-(
Попробую еще раз:
Мультипликативная группа конечного поля $\mathbb{Z}_p^\times$ (и даже $\mathbb{Z}_p^\times$) циклична, т.е. существует $g: \mathbb{Z}_p^\times=\{g^0, ..., g^{p-1}\}$, ее порядок $p-1$.
С учетом этого уравнение принимает вид $x^k = g^a$. Общий случай здесь сводится к двум крайностям: $k | p-1$ или $\gcd(k,p-1)=1$.
Если $\gcd(k,p-1)=1$, то можно возвести это уравнение в некую такую степень (находится алгоритмом Евклида), что получится равносильное уравнение $x=g^b$
Если же $k | p-1$ ($k$ делит порядок группы), то тогда если $k\nmid a$, то решений вообще нет (возводим уравнение в степень $\frac{p^n-1}{k}$). Если же $k \mid a$, то есть $k$ корней.
А вообще это все избыточно: если группа $G=\mathbb{F}_{p^n}^{\times}$ циклична, то есть изоморфизм $\varphi$ (логарифм) ее в аддитивную группу: $\varphi(g^a)=a, \varphi(xy)\equiv x+y \pmod {p-1}, \varphi(\mathbb{Z}_p^{\times})=\mathbb{Z}_{p-1}^+$, а в аддитивной группе работать все-таки полегче: показательное уравнение $x^k=g^a$ в ней превращается в $k\varphi (x)=a\varphi(g) \pmod {p-1}$. И теперь здесь надо все коэффициенты с модулем сократить на НОД, потом проверить, есть ли общие делители у каких-либо коэффициентов (если есть, то сделать соотв-ий вывод), а если нет, то умножить на нужное число (которое опять же ищется алгоритмом Евклида) и получить решение.
Т.е. вышеприведенный критерий, который я пытался написать - это "подъем" критерия разрешимости линейных сравнений по составному модулю через "потенцирование".

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1204910 писал(а):
Чтобы проверить является ли $a$ квадратичным вычетом в $\mathbb{Z}_p$ есть эффективный вычислительный алгоритм - вычисление символа Якоби.
Зачем человека пугать? Символ Якоби для $\mathbb{Z}_p$ - это как раз символ Лежандра, да и вообще проще начать с критерия Эйлера


Munin в сообщении #1204895 писал(а):
А можно ли вообще, расширяя это поле до конечного, добиться того, чтобы извлекались все?
Не знаю. Где-то вспоминается как раз такое поле $\Omega$, но автор писал, что оно страшно устроено и все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 22:40 
Заслуженный участник


02/08/11
6874

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1205036 писал(а):
раз Вы тензоры асилили...
Тензоры — ерунда, тензоры и я "осилил". Munin знает, что интеграл — это произведение цепи на коцепь — это посущественнее захудалых тензоров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение30.03.2017, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
vpb в сообщении #1205024 писал(а):
Позвольте повториться: Вавилов -- человек достаточно уникальный, и записи лекций Вавилова без самого Вавилова не очень полезны.

Ну не знаю. Мне нравились. Может, даже упражнения возьмусь поделать.

И вообще, имхо, видеолекции - новый формат информации, который вполне ценен на своём месте.

AV_77 в сообщении #1205032 писал(а):
Еще очень не плохой учебник - С. Ленг, Алгебра. Из современных - Paolo Aluffi. Algrebra, Chapter 0. Правда это уже ближе к уровню аспирантуры.

Спасибо! (Ленг у меня есть.) Но вы совсем не смотрите, что я просил простой уровень! Вы меня закидываете, наоборот, сложным.

Sonic86 в сообщении #1205036 писал(а):
Эээ, ну я думал, раз Вы тензоры асилили...

Это не показатель! Мало ли чего я осилил в молодости, и с тех пор помню наизусть :-)

-- 30.03.2017 23:17:00 --

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #1205082 писал(а):
Munin знает, что интеграл — это произведение цепи на коцепь — это посущественнее захудалых тензоров.

Это тоже из серии "освоишь в молодости - и дальше всю жизнь хвастаешься" :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение31.03.2017, 01:31 
Заслуженный участник


31/12/05
1414
Munin в сообщении #1205101 писал(а):
Спасибо! (Ленг у меня есть.) Но вы совсем не смотрите, что я просил простой уровень! Вы меня закидываете, наоборот, сложным.

А почитайте действительно Айерленда-Роузена, хотя бы до квадратичных вычетов. Он как раз про вопросы из вашего стартового сообщения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group