2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение27.03.2017, 21:03 


01/03/13
2502
Ищу способ быстрого и точного численного вычисления значения функции
$F_m(t)=\int\limits_{0}^{1}u^{2m}e^{-tu^2}du$,
$m$- целое число (вроде даже положительное),
$t$- положительное вещественное число.
У меня ссылка есть: I. Shavitt: Methods in Computational Physics, 1963, vol. 2, p.1. Но нашел только с платным доступом.
Может кому знакомо и есть материал на эту тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение28.03.2017, 05:58 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Osmiy
Очевидно, что заменой $\[{x^2} = {t^{ - 1}}\xi \]$ интеграл приводится к разности полной и неполной гамма-функций (при $\[m >  - \frac{1}{2}\]$)
$$\[\int\limits_0^1 {{x^{2m}}{e^{ - t{x^2}}}dx}  = \frac{{\Gamma (m + \frac{1}{2}) - \Gamma (m + \frac{1}{2},t)}}{{2{t^{m + \frac{1}{2}}}}}\]$$
В элементарных функциях даже для целых $\[m\]$ не выразится - его можно свести к разности полинома на экспоненту и функции ошибок. Но в любом случае, в чём проблема посчитать такое в любом матпакете (собственно, можно даже тупо численно интеграл брать, для него не будет никаких проблем).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение28.03.2017, 08:10 


01/03/13
2502
Ms-dos4, спасибо!
Только немного изменил формулу
$$ \frac{ \Gamma (m + \frac{1}{2})  I(m+\frac{1}{2},t)}    {2t^{m + \frac{1}{2}}}  $$

$I(m+\frac{1}{2},t)$ - регуляризированная гамма-функция

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение28.03.2017, 11:58 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Регуляризированная — не часто встречающееся название. По тексту сообщения понятно, но на всякий случай приведу ссылку
ALGLIB User Guide - Специальные функции - Неполная гамма-функция писал(а):
...
Эти формулы задают нижнюю неполную гамма-функцию и верхнюю неполную гамма-функцию (в зависимости от того, какой из пределов интегрирования зафиксирован - нижний или верхний). С ними тесно связана т.н. регуляризированная гамма-функция: $P(x)= \frac {1}{\Gamma (\alpha)}\int\limits_0^x t^{\alpha-1}e^{-t}dt$...
[При переходе по ссылке мне пришлось выставлять в браузере кодировку вручную: Кириллица (Windows 1251)]

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение28.03.2017, 17:45 


25/08/11

1074
Если нужно численно и желательно по своему, без стандартных пакетов-то я бы разложил в ряд экспоненту и считал. На указанном промежутке всё будет хорошо и быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение28.03.2017, 19:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
sergei1961 в сообщении #1204387 писал(а):
я бы разложил в ряд экспоненту и считал. На указанном промежутке всё будет хорошо и быстро.

Ага. Особенно при $t=100$, скажем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение29.03.2017, 13:59 


01/03/13
2502
А в какой ряд надо экспоненту раскладывать? Я в ряд Тейлора разложил, у меня вот что получилось
$F_m(t)=\frac{1}{1+2m}+ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-t)^n}{(1+2m+2n)n!}$
Брал 12 членов и получал левые космические числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение29.03.2017, 15:13 


01/03/13
2502
Методом тыка установил, что расхождение происходит при больших $t$. При значениях 3-4 начинает постепенно расходиться, а при больших в рандом превращается.

-- 29.03.2017, 17:19 --

sergei1961, ewert, лучше вы б не писали своих сообщений :plusomet:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение29.03.2017, 15:25 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Osmiy в сообщении #1204641 писал(а):
Методом тыка установил, что расхождение происходит при больших $t$. При значениях 3-4 начинает постепенно расходиться, а при больших в рандом превращается.

Это вы просто недостаточное число членов ряда взяли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение29.03.2017, 15:33 


01/03/13
2502
А сколько надо взять, если $t$ может быть over 1000?
Я использую числа с двойной точностью. Это позволяет задавать десятичную степень примерно до 300. При $t=1000$ этого хватает на 100 членов. Но мне же обещали что будет быстро :x

-- 29.03.2017, 17:38 --

Я в этом не разбираюсь. Но мне кажется что проблема в чередовании знака слагаемых, и в том, что при больших $t$ рост $t^n$ происходит быстрее $n!$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение29.03.2017, 15:57 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Osmiy в сообщении #1204649 писал(а):
что при больших $t$ рост $t^n$ происходит быстрее $n!$.

$t=1000$. Что больше $1000^{1000}$ или $1000!$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение29.03.2017, 16:03 


01/03/13
2502
Не знаю, но раз спрашиваете, то факториал. Видимо ошибка получается когда $t$ большое, а $n$ маленькое.
Например, $1000^2$ и $2!$.

-- 29.03.2017, 18:04 --

Тогда получается надо увеличивать $n$, т.е. кол-во членов. :x

-- 29.03.2017, 18:12 --

Сделал 20 членов. Диапазон для $t$ сместился примерно на единичку :facepalm:

-- 29.03.2017, 18:24 --

Со 100 членами примерно до $t=10$ получается считать. Дальше уже разрядность чисел не тянет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение29.03.2017, 19:16 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Раскладывать экспоненту в ряд - это была шутка. Но ряд все же сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение29.03.2017, 21:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

dsge в сообщении #1204690 писал(а):
Раскладывать экспоненту в ряд - это была шутка.

"ну и шуточки же у тебя, боцман!"

("тебя" -- лишь ради стилистической выверенности, соррьте)


-- Ср мар 29, 2017 23:23:56 --

Osmiy в сообщении #1204641 писал(а):
sergei1961, ewert, лучше вы б не писали своих сообщений :plusomet:

А напрасно Вы так считаете. Все эти сообщения -- осознаны. Кто больше, кто меньше; но, во всяком случае, все имеют отношение к делу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление Гаусс-подобной функции
Сообщение30.03.2017, 08:46 


01/03/13
2502
Изменил немного уравнения:
$$F_m(t)=\frac{1}{2m+1}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_n$$
$$X_1=\frac{-t}{2m+3}$$
$$X_n=X_{n-1}* \frac{2m+2n-1}{2m+2n+1}* \frac{-t}{n}$$

При 20 000 000 членов/членах удалось поднять аргумент до 20. :mrgreen:
Мне аж интересно стало, что там такое в статье написано :|

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group