Сведение к признаку Лейбница

[loser228]

Имеется вот такой ряд: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \frac{1}{\sqrt{n}}$ . Если выписать подряд несколько первых членов, получим $1, -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{1}{2\sqrt{2}}$ . Чередование знаков получается "через два", то есть два положительных, затем два отрицательных, если отбросить первый член. В одном месте видел такой способ решения: рассматриваем ряд, каждый член которого есть сумма двух членов исходного, то есть $b_1=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}, b_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}, b_3=-\frac{1}{\sqrt{6}} -\frac{1}{\sqrt{7}}$ и так далее. Свели таким образом к знакопеременному ряду, а его исследуем по признаку Лейбница. Интересует обоснованность данного способа решения.

[mihailm]

Обоснованность, например, следует отсюда. Посмотреть на частичные суммы двух рядов, они (соответствующие) близки. Уточнить это и т.д. и т.п.

[loser228]

mihailm в сообщении #1202186 писал(а):

Обоснованность, например, следует отсюда. Посмотреть на частичные суммы двух рядов, они (соответствующие) близки. Уточнить это и т.д. и т.п.

А чуть подробнее можно ? А то не доходит ... Нигде в книжках не встречал такого метода, вот и заинтересовался.

[mihailm]

Вы математик?

[loser228]

mihailm в сообщении #1202192 писал(а):

Вы математик?

Учусь еще только Слишком глупые вопросы задаю ?

[mihailm]

Выпишем последовательность частичных сумм сгруппированного ряда, она сходится к чему то (почему?). Докажем теперь, что последовательность частичных сумм исходного ряда сходится туда же

[mihailm]

loser228, если что то непонятно выписывайте сюда попытки, например, выпишите частные суммы сгруппированного и исходного ряда.

[loser228]

$S_n=b_1+b_2+...+b_n=(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+...+(a_{2n-1}+a_{2n})$ - это для сгруппированного ряда, а для исходного $s_n=a_1+a_2+..+a_n$

[mihailm]

А на сколько отличается частичная сумма исходного от соответствующей частичной суммы сгруппированного?

[loser228]

На $a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n-1}+a_{2n}$ , получается.

[svv]

Нет, от Вас не этого хотят. Некоторые частичные суммы исходного ряда (какие?) являются также частичными суммами сгруппированного ряда. Их последовательность сходится (присоединяюсь к вопросу: почему?). Некоторые — не являются. Тем не менее, эти последние хорошо себя ведут (в каком смысле?), что и позволяет сделать вывод о том, что последовательность частичных сумм исходного ряда тоже сходится.

Замечание: в записи первых членов ряда Вы упрощали $\frac 1{\sqrt 4}=\frac 1 2$, $\frac 1{\sqrt 8}=\frac 1 {2\sqrt 2}$. Тут важна общая закономерность, поэтому так делать не стоит. Выигрыша никакого, а читабельность ухудшается.

[loser228]

svv в сообщении #1202430 писал(а):

Нет, от Вас не этого хотят. Некоторые частичные суммы исходного ряда (какие?) являются также частичными суммами сгруппированного ряда. Их последовательность сходится (присоединяюсь к вопросу: почему?). Некоторые — не являются. Тем не менее, эти последние хорошо себя ведут (в каком смысле?), что и позволяет сделать вывод о том, что последовательность частичных сумм исходного ряда тоже сходится.

Замечание: в записи первых членов ряда Вы упрощали $\frac 1{\sqrt 4}=\frac 1 2$, $\frac 1{\sqrt 8}=\frac 1 {2\sqrt 2}$. Тут важна общая закономерность, поэтому так делать не стоит. Выигрыша никакого, а читабельность ухудшается.

Если исходный ряд рассматривать без единички, то его частичные суммы с чётными номерами будут являться частичными суммами сгруппированного, а последние сходятся потому, что сгруппированный ряд сходится.

[svv]

Правильно.
Но есть ещё частичные суммы с нечётными номерами. Если бы они вели себя как угодно, последовательность всех частичных сумм могла бы расходиться.
К счастью, в нашем случае эти «нечётные» ведут себя хорошо. Догадаетесь, в чём это проявляется?

[loser228]

svv в сообщении #1202452 писал(а):

Правильно.
Но есть ещё частичные суммы с нечётными номерами. Если бы они вели себя как угодно, последовательность всех частичных сумм могла бы расходиться.
К счастью, в нашем случае эти «нечётные» ведут себя хорошо. Догадаетесь, в чём это проявляется?

что-то не выходит

[svv]

Ну, допустим, если я скажу, что
$s_{84}=-0,651893...$
$s_{86}=-0,866937...$
и при этом $s_{85}=\text{миллион}$, Вы поверите? Что тут неправдоподобно?