2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сколько целых чисел может быть?
Сообщение19.03.2017, 16:13 
Аватара пользователя


01/12/11
5487
Дано некоторое вещественное число $x$, не равное нулю.
Сколько из следующих трёх чисел могут быть целыми?
$$x-\dfrac{1}{x},\quad \dfrac{1}{x^2+1}-2x\quad\text{и}\quad \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2+1}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько целых чисел может быть?
Сообщение19.03.2017, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12767
Может быть ноль целых: при $x=2$.
Может быть одно целое: решаем первое уравнение для двойки и проверяем два других на нецелость. Конкретно: $x=1-\sqrt 2$.
Трёх быть не может: сложив все три выражения получим, что $x$ целое число, а дальше проверим $1$ и $-1$.
Итак, осталось узнать, может ли быть два целых значения.
Если рассмотреть области значений трёх выражений, то при проверке пары значений, можно увидеть, что второе выражение не может пару образовать, а рассмотрев сумму первого и третьего выражений, можно увидеть, что и они пару не образовывают. Но как-то нудно это. :-(
Наверное, есть красивое решение. Ау-у-у!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group