2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подобрать формулу ...
Сообщение18.03.2017, 19:04 


03/10/06
826
Есть свойство треугольника Паскаля: Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна $2^n$
Также если складывать или попеременно складывать/вычитать эти числа через один, то тоже получаем степень двойки в сумме. Для второго случая предлагалась даже формула через комплексные числа в следующий теме:
http://dxdy.ru/post493083.html#p493083
Далее, если складывать эти числа через три, то есть пропуская три числа, то иногда получаем степень двойки, но чаще разность или сумму двух чисел, степеней двойки. Привожу результаты для строк 2-17:
Код:
2: 1 = 1 +- 0
3: 1 = 2 - 1
4: 2 = 4 - 2
5: 6 = 8 - 2
6: 16 = 16 -+ 0
7: 36 = 32 + 4
8: 72 = 64 + 8
9: 136 = 128 + 8
10: 256 = 256 +- 0
11: 496 = 512 - 16
12: 992 = 1024 - 32
13: 2016 = 2048 - 32
14: 4096 = 4096 -+ 0
15: 8256 = 8192 + 64
16: 16512 = 16384 + 128
17: 32896 = 32768 + 128

Подобрать бы только для этого краткую формулу. Реально же нужно задать формулой ряд чисел:
$0, -1, -2, -2, 0, 4, 8, 8, 0, -16, -32, -32, 0, 64, 128, 128, ...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Подобрать формулу ...
Сообщение18.03.2017, 20:06 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Зачем подбирать формулу, если ее можно вычислить аналитически мультисекцией ряда? (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1 ... 0%B4%D0%B0)
Или Вы результат мультисекции не смогли упростить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подобрать формулу ...
Сообщение18.03.2017, 22:10 


02/07/11
59
В структурах такого типа (как треугольник Паскаля) хорошо работает метод из серии интерполяционных многочленов, который, наверно, каждый интересующийся для себя открывал в школьные годы: многоуровнего применения разностного оператора к каждой соседней паре чисел. То есть Вы из исходной последовательности составляете новую последовательность чисел, состоящих из разностей соседних элементов исходной, и повторяете эту процедуру, пока не останется одно число. Визуально получится треугольник, в котором нужно обратить внимание на левую сторону. Угадать закономерность в ней обычно достаточно легко, а как отсюда получить "формулу" исходной последовательности - понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подобрать формулу ...
Сообщение18.03.2017, 23:03 


03/10/06
826
Sonic86 в сообщении #1201600 писал(а):
Зачем подбирать формулу, если ее можно вычислить аналитически мультисекцией ряда? (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1 ... 0%B4%D0%B0)
Или Вы результат мультисекции не смогли упростить?

Не слышал раньше про мультисекции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подобрать формулу ...
Сообщение19.03.2017, 00:24 


03/10/06
826
Получается по той формуле сумма чисел.
Код на Maxima:
Код:
for q:2 thru 17 do
(
s:0,for k:0 thru 3 do
(
d:0,a:2*cos(%pi*k/4),b:%pi*k*(q-2*d)/4,s:s+a^q*cos(b)/4
),
print(s)
);

По ссылке "Ефремов Д. Решение задачи на премию № 3" результат приведён в конце статьи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подобрать формулу ...
Сообщение19.03.2017, 18:05 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
И подобрать формулу для последовательности $(0,-1,-1,-2, 0, 4, 8, 8, ...)$ несложно. Если выделить множитель $2^{n/2}$, останется синус чего-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подобрать формулу ...
Сообщение19.03.2017, 23:59 


03/10/06
826
svv в сообщении #1201819 писал(а):
останется синус чего-то

Там удвоенное произведение двух косинусов реально, может и через синус возможно. Линк на Вики дан выше, там есть ссылка на статью "Ефремов Д. Решение задачи на премию № 3", формула в конце статьи, которую можно и далее упростить с учётом, что шаг равен 4. Или можно брать формулу из статьи в Вики и её упрощать. 4 слагаемых, при нуле косинусы равны 1, для 1 и 3 произведение косинусов даёт одинаковый результат, при 2 произведение зануляется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подобрать формулу ...
Сообщение25.03.2017, 16:33 


03/10/06
826
Если попеременно числа в строках складывать/вычитать через три числа, то в чётных строках такие суммы будут пропорциональны числам Пелля-Люка с коэффициентами из этой самой последовательности $(0,-1,-1,-2, 0, 4, 8, 8, ...)$ .
Код:
n U V
0 0 2
1 1 2
2 2 6   4: 0   = 0*6
3 5 14   6: -14 =-1*14
4 12 34   8: -68 =-2*34
5 29 82   10:-164=-2*82
6 70 198   12:0   = 0*198
7 169 478   14:1912= 4*478
8 408 1154   16:9232= 8*1154
9 985 2786   18:22288=8*2786
10 2378 6726   20:0    =0*6726
Слева числа Пелля-Люка, справа суммы по строкам, начиная с 4-ой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подобрать формулу ...
Сообщение28.03.2017, 00:39 


03/10/06
826
При ненулевых добавочных значениях суммы из первого сообщения можно записать так:
$$S_n=2^{n-2}+{(-1)^{\left\lfloor {\frac {n+2}{4}}\right\rfloor}}2^{\left\lfloor {\frac {n-2}{2}}\right\rfloor}$$
Код:
for n:= 1 to 17 do
S:=2**(n-2);
if ((n-2)mod 4 <> 0) then
S:=S+(-1)**((n+2)div 4)*2**((n-2)div 2);
end;
writeln(n,": ",S);
end.
1: 1.00000000
2: 1
3: 1
4: 2
5: 6
6: 16
7: 36
8: 72
9: 136
10: 256
11: 496
12: 992
13: 2016
14: 4096
15: 8256
16: 16512
17: 32896

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group